《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

1. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BO$ 为 $\triangle ABC$ 的角平分线,以点 $O$ 为圆心,$OC$ 为半径作 $\odot O$. 求证:$AB$ 为 $\odot O$ 的切线.

答案： 证明:过点 O 作 OH⊥AB 于点 H,
∵∠ACB=90°,
∴OC⊥BC.
∵BO 为△ABC 的角平分线,OH⊥AB,
∴OH=OC,即 OH 为⊙O 的半径.
∴AB 为⊙O 的切线.

2. (2023·攀枝花)如图,$AB$ 为 $\odot O$ 的直径,如果圆上的点 $D$ 恰使 $\angle ADC = \angle B$,求证:直线 $CD$ 与 $\odot O$ 相切.

答案： 证明:连接 OD.
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA.
∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠A+∠B=90°.
∵∠ADC=∠B,
∴∠ODA+∠ADC=90°,即∠CDO=90°.
∴CD⊥OD.又
∵OD 是⊙O 的半径,
∴直线 CD 与⊙O 相切.

3. 如图,$C$ 是 $\odot O$ 上一点,点 $P$ 在直径 $AB$ 的延长线上,$\odot O$ 的半径为 $3$,$PB = 2$,$PC = 4$. 求证:$PC$ 是 $\odot O$ 的切线.

答案： 证明:连接 OC.
∵⊙O 的半径为 3,
∴OC=OB=3.又
∵BP=2,
∴OP=5.在△OCP 中,OC²+PC²=3²+4²=5²=OP²,
∴△OCP 为直角三角形,∠OCP=90°.
∴OC⊥PC.又
∵OC 是⊙O 的半径,
∴PC 是⊙O 的切线.

4. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 与 $BC$ 相交于点 $E$,在 $AC$ 上取一点 $D$,使得 $DE = AD$. 求证:$DE$ 是 $\odot O$ 的切线.

答案： 证明:连接 OE,OD,在△AOD 和△EOD 中,$\left\{\begin{array}{l} OA=OE,\\ DA=DE,\\ OD=OD,\end{array}\right. $
∴△AOD≌△EOD(SSS).
∴∠OED=∠BAC=90°.
∴OE⊥DE.又
∵OE 是⊙O 的半径,
∴DE 是⊙O 的切线.

5. (2024·东营)如图,$\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,点 $E$ 在 $\odot O$ 上,点 $C$ 是 $\overset{\frown}{BE}$ 的中点,$AE \perp CD$,垂足为 $D$,$DC$ 的延长线交 $AB$ 的延长线于点 $F$.
(1)求证:$CD$ 是 $\odot O$ 的切线.

(2)若 $CD = \sqrt{3}$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,求线段 $AF$ 的长.

答案： 解:
(1)证明:连接 OC.
∵点 C 是$\widehat {BE}$的中点,
∴$\widehat {BC}=\widehat {CE}$.
∴∠BAC=∠CAE.
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC.
∴∠OCA=∠CAD.
∴OC//AD.
∵AE⊥CD,
∴OC⊥DF.
∵OC 是⊙O 的半径,
∴CD 是⊙O 的切线.
(2)
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°.
∴∠CAD=∠BAC=30°.
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°.
∵∠D=90°,CD=$\sqrt {3}$,AC=2CD=2$\sqrt {3}$,
∴AD=$\sqrt {AC^{2}-CD^{2}}$=3.
∵∠F=180°-∠D-∠BAD=30°.
∴AF=2AD=6.