《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

7. 下列方程中，以 $x=\frac{-5\pm\sqrt{25 + 4c}}{2}$ 为根的是(B)

A.$x^{2}-5x - c = 0$
B.$x^{2}+5x - c = 0$
C.$x^{2}-5x + 4c = 0$
D.$x^{2}+5x + c = 0$

答案： B

8. 一元二次方程 $x^{2}+3x - 1 = 0$ 的较大的根为$\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$.

答案： 8.$\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$

9. 【数形结合思想】如图，点 $A$ 在数轴的负半轴上，点 $B$ 在数轴的正半轴上，且点 $A$ 对应的数是 $2x - 1$，点 $B$ 对应的数是 $x^{2}+x$.已知 $AB = 5$，则 $x$ 的值为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.

答案： 9.$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

10. 定义 $a*b=\frac{a + 2b}{2}$，则方程 $(2x*x^{2})-(x^{2}*2x)=1$ 的解为$x_{1}=1+\sqrt{3},x_{2}=1-\sqrt{3}$.

答案： 10.$x_{1}=1+\sqrt{3},x_{2}=1-\sqrt{3}$

11. 用公式法解下列方程：
(1) $x(x + 2\sqrt{3})+2 = 0$.
(2) $6x^{2}-11x + 4 = 2x - 2$.

答案： 11.解:
(1)原方程可化为$x^{2}+2\sqrt{3}x+2=0.\because a=1,b=2\sqrt{3},c=2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(2\sqrt{3})^{2}-4× 1× 2=4＞0$.
∴方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{-2\sqrt{3}\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{-2\sqrt{3}\pm 2}{2}.\therefore x_{1}=-\sqrt{3}+1,x_{2}=-\sqrt{3}-1$.
(2)原方程可化为$6x^{2}-13x+6=0.\because a=6,b=-13,c=6,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-13)^{2}-4× 6× 6=25$.
∴方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{13\pm \sqrt{25}}{2× 6}=\frac{13\pm 5}{12}.\therefore x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=\frac{2}{3}.$

12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(k + 1)x + 2k - 2 = 0$.
(1) 试判断方程的根的情况.
(2) 若此方程有一个根大于 $0$ 且小于 $1$，求 $k$ 的取值范围.

答案： 12.解:
(1)$\because a=1,b=-(k+1),c=2k-2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=[-(k+1)]^{2}-4× 1× (2k-2)=k^{2}+2k+1-8k+8=k^{2}-6k+9=(k-3)^{2}\geq 0$.
∴此方程总有两个实数根.
(2)$x=\frac{(k+1)\pm \sqrt{(k-3)^{2}}}{2}$,解得$x_{1}=k-1,x_{2}=2$.
∵此方程有一个根大于0且小于1,$\therefore 0＜k-1＜1.\therefore 1＜k＜2.$

13. 已知 $a$，$b$，$c$ 为实数，且 $\sqrt{a^{2}-3a + 2}+\vert b + 1\vert+(c + 3)^{2}=0$，求方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 的根.

答案： 13.解:$\because \sqrt{a^{2}-3a+2}+|b+1|+(c+3)^{2}=0,\therefore a^{2}-3a+2=0,b+1=0,$$c+3=0$,分别解得$a_{1}=1,a_{2}=2,b=-1,c=-3$.当$a=1,b=-1,c=-3$时,原方程为$x^{2}-x-3=0.\because \Delta =b^{2}-4ac=1+12=13＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}.\therefore x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$;当$a=2,b=-1,c=-3$时,原方程为$2x^{2}-x-3=0.\because \Delta =b^{2}-4ac=1+24=25＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{4}=\frac{1\pm 5}{4}.\therefore x_{3}=\frac{3}{2},x_{4}=-1$.