《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

1. 一元二次方程 $x^{2}-px + q = 0(p^{2}-4q＞0)$ 的两个根是(A)

A.$\frac{p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$
B.$\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$
C.$\frac{p\pm\sqrt{p^{2}+4q}}{2}$
D.$\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}+4q}}{2}$

答案： A

2. 用公式法解方程：$2x^{2}+4x = x + 2$.
解：方程化为一般形式，得$2x^{2}+3x-2=0$.
$a =$2，$b =$3，$c =$-2，
$\Delta = b^{2}-4ac =$25$＞0$.
方程有两个不相等的实数根，为
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=$$\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2× 2}$，
即 $x_{1}=$$\frac{1}{2}$，$x_{2}=$-2.

答案： 2.$2x^{2}+3x-2=0$ 2 3 -2 25 两个不相等的 $\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2× 2}$ $\frac{1}{2}$ -2

3. 方程 $2x^{2}-x - 1 = 0$ 的解是$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{1}{2}$.

答案： 3.$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{1}{2}$

4. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-3x + 2 = 0$.
(2) $2x^{2}+5x - 3 = 0$.
(3) $x^{2}+10 = 2\sqrt{5}x$.
(4) $x^{2}-4x = x-\frac{25}{4}$.

答案： 4.解:
(1)$\because a=1,b=-3,c=2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4× 1× 2=1＞0$.
∴方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{3\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{3\pm 1}{2}.\therefore x_{1}=2,x_{2}=1.$
(2)$\because a=2,b=5,c=-3,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=5^{2}-4× 2× (-3)=49＞0$.
∴方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{2× 2}=\frac{-5\pm 7}{4}.\therefore x_{1}=-3,$$x_{2}=\frac{1}{2}$.
(3)$x^{2}-2\sqrt{5}x+10=0,\because a=1,b=-2\sqrt{5},c=10,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4× 1× 10=-20＜0$.
∴此方程无实数根.
(4)$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=0.\because a=1,b=-5,c=\frac{25}{4},\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4× 1× \frac{25}{4}=0$.
∴方程有两个相等的实数根.$\therefore x=\frac{5\pm \sqrt{0}}{2}.\therefore x_{1}=x_{2}=\frac{5}{2}.$

5. 若代数式 $3x^{2}+1$ 的值与 $x + 3$ 的值相等，求 $x$ 的值.

答案： 5.解:由题意,得$3x^{2}+1=x+3$.整理,得$3x^{2}-x-2=0.\because a=3,b=-1,$$c=-2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4× 3× (-2)=25＞0$.
∴方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2× 3}=\frac{1\pm 5}{6}.\therefore x_{1}=-\frac{2}{3},x_{2}=1$.故x的值为$-\frac{2}{3}$或1.

6. 小明在利用公式法解方程 $x^{2}-5x = 1$ 时出现了错误，他的解答过程如下：
$\because a = 1$，$b = -5$，$c = 1$，(第一步)
$\therefore\Delta = b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4×1×1 = 21＞0$.(第二步)
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$.(第三步)
$\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.(第四步)
(1) 小明的解答过程是从第一步开始出错的.
(2) 写出此题正确的解答过程.

答案： 6.解:
(1)一
(2)方程化为一般形式,得$x^{2}-5x-1=0.\because a=1,b=-5,$$c=-1,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4× 1× (-1)=29＞0$.
∴方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{5\pm \sqrt{29}}{2}.\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_{2}=\frac{5-\sqrt{29}}{2}.$