《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

1. 若二次函数 $ y = ax^{2} + 4ax + a $ 的图象经过点$(3,22)$，则该二次函数的解析式为$y=x^{2}+4x+1$.

答案： $y=x^{2}+4x+1$

2. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象经过点$(-1,0)$，$(0,-2)$，$(1,-2)$，则这个二次函数的解析式为$y=x^{2}-x-2$.

答案： $y=x^{2}-x-2$

3. 若抛物线的对称轴为直线 $ x = 2 $，最小值为$-1$，且与 $ y $ 轴的交点坐标为$(0,3)$，则该抛物线的解析式为$y=(x-2)^{2}-1$.

答案： $y=(x-2)^{2}-1$

4. 若抛物线 $ y = ax^{2} + c $ 与抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} $ 的形状相同，且经过点 $ A(1,0) $，则它的解析式为$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{4}$或$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}-\dfrac{1}{4}$.

答案： $y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{4}$或$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}-\dfrac{1}{4}$

5. 已知二次函数 $ y = ax^{2} - 5ax + c $ 的最小值为$-\frac{9}{4}$，其图象过点 $ D(0,4) $，求这个二次函数的解析式.

答案： 解:$\because$二次函数$y=ax^{2}-5ax+c$的图象过点$D(0,4)$,$\therefore c=4$.$\because$二次函数$y=ax^{2}-5ax+c$的最小值为$-\dfrac{9}{4}$,$\therefore \dfrac{4a\cdot4-(-5a)^{2}}{4a}=-\dfrac{9}{4}$且$a＞0$.$\therefore a=1$.$\therefore$这个二次函数的解析式是$y=x^{2}-5x+4$.

6. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点坐标分别是$(-1,0)$，$(3,0)$.
(1) 求这条抛物线的对称轴.
(2) 若该抛物线最高点到 $ x $ 轴的距离为 $ 4 $，求该抛物线的解析式.

答案：
(1)$\because$抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴的交点坐标分别是$(-1,0)$,$(3,0)$,$\therefore$这条抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{-1+3}{2}=1$.
(2)$\because$抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴的交点坐标分别是$(-1,0)$,$(3,0)$,$\therefore y=a(x+1)(x-3)=ax^{2}-2ax-3a=a(x-1)^{2}-4a$.$\because$该抛物线最高点到$x$轴的距离为$4$,$\therefore$最高点的纵坐标为$4$或$-4$,且$a＜0$.当最高点的纵坐标为$4$时,$-4a=4$,解得$a=-1$;当最高点的纵坐标为$-4$时,$-4a=-4$,解得$a=1$(不合题意,舍去).$\therefore y=-x^{2}+2x+3$.

7. 已知抛物线 $ y = -x^{2} + 2x + 1 $.
(1) 向右平移 $ 3 $ 个单位长度，向下平移 $ 2 $ 个单位长度所得抛物线的解析式为$y=-(x-4)^{2}$(或$y=-x^{2}+8x-16$).
(2) 沿 $ x $ 轴翻折所得抛物线的解析式为$y=(x-1)^{2}-2$(或$y=x^{2}-2x-1$).
(3) 沿 $ y $ 轴翻折所得抛物线的解析式为$y=-(x+1)^{2}+2$(或$y=-x^{2}-2x+1$).

答案：
(1)$y=-(x-4)^{2}$(或$y=-x^{2}+8x-16$)
(2)$y=(x-1)^{2}-2$(或$y=x^{2}-2x-1$)
(3)$y=-(x+1)^{2}+2$(或$y=-x^{2}-2x+1$)