《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

1. (2023·南昌外国语期末)把二次函数 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} - x + 3 $ 用配方法化成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式时，应为(C)

A.$ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^{2} + 2 $
B.$ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^{2} + 4 $
C.$ y = -\frac{1}{4}(x + 2)^{2} + 4 $
D.$ y = -(\frac{1}{2}x - \frac{1}{2})^{2} + 3 $

答案： C

2. 已知二次函数 $ y = -x^{2} - 2x + 1 $，则下列说法正确的是(D)

A.函数图象经过点 $ (-2, -7) $
B.当 $ x = 1 $ 时，函数有最大值，最大值是 2
C.当 $ x ＜ 1 $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.对称轴是直线 $ x = -1 $

答案： D

3. (2021·江西)在同一平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^{2} $ 与一次函数 $ y = bx + c $ 的图象如图所示，则二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象可能是(D)

答案： D

4. (2023·赣州赣县区期末)将抛物线 $ y = x^{2} - 2 $ 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后，得到的抛物线解析式是$y=(x-1)^{2}+1$.

答案： $y=(x-1)^{2}+1$

5. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 图象上部分点的坐标 $ (x, y) $ 如下表：

则该图象的对称轴是直线$x=-2$.

答案： 直线$x=-2$

6. 已知二次函数 $ y = 2x^{2} - 20x + 53 $。当 $ 1 \leq x \leq 4 $ 时，函数 $ y $ 的最小值是5.

答案： 5

7. 若点 $ P(m, n) $ 在二次函数 $ y = x^{2} + 2x + 2 $ 的图象上，且点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离小于 2，则 $ n $ 的取值范围是$1\leqslant n＜10$.

答案： $1\leqslant n＜10$

8. 新考向 阅读理解 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 $ A(x, y) $ 是函数图象上任意一点，纵坐标 $ y $ 与横坐标 $ x $ 的差“ $ y - x $”称为点 $ A $ 的“纵横值”。函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”。例如：点 $ A(1, 3) $ 在函数 $ y = 2x + 1 $ 图象上，点 $ A $ 的“纵横值”为 $ 3 - 1 = 2 $，函数 $ y = 2x + 1 $ 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 $ y - x = 2x + 1 - x = x + 1 $，当 $ 3 \leq x \leq 6 $ 时， $ x + 1 $ 的最大值为 $ 6 + 1 = 7 $，所以函数 $ y = 2x + 1(3 \leq x \leq 6) $ 的“最优纵横值”为 7。
根据定义，解答下列问题：
(1) 点 $ B(-6, 2) $ 的“纵横值”为8.
(2) 若二次函数 $ y = -x^{2} + bx + c $ 的顶点在直线 $ x = \frac{3}{2} $ 上，且“最优纵横值”为 5，求 $ c $ 的值。
(3) 若二次函数 $ y = -(x - h)^{2} + 3 $ 的顶点在直线 $ y = \frac{1}{2}x + 2 $ 上，当 $ -1 \leq x \leq 3 $ 时，求该二次函数的“纵横值”的取值范围。

答案：
(1)8
(2)由题意,得$-\frac{b}{2×(-1)}=\frac{3}{2}$,解得$b=3$.$\therefore y=-x^{2}+3x+c$.$\therefore y-x=-x^{2}+3x+c-x=-x^{2}+2x+c=-(x-1)^{2}+1+c$.$\because$"最优纵横值"为5,$\therefore 1+c=5$.$\therefore c=4$.
(3)由题意,得$\frac{1}{2}h+2=3$,解得$h=2$.$\therefore y=-(x-2)^{2}+3$.$\therefore y-x=-(x-2)^{2}+3-x=-x^{2}+3x-1=-(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{5}{4}$.$\therefore$对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$.$\because -1＜0$,$\therefore$抛物线开口向下.$\because -1\leqslant x\leqslant 3$,$\therefore$当$x=\frac{3}{2}$时,取得最大值为$\frac{5}{4}$;当$x=-1$时,取得最小值为$-5$.$\therefore$"纵横值"的取值范围为$-5\leqslant y-x\leqslant \frac{5}{4}$.