《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

9. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}+2x - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 k＞1/2且k≠1.

答案： 9.k＞1/2且k≠1

【变式】（2024·广安）若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（ ）

A.$m ＜ 0$ 且 $m\neq -1$
B.$m\geq 0$
C.$m\leq 0$ 且 $m\neq -1$
D.$m ＜ 0$

答案： 【变式】A

10. （本课时 T9 变式）若关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-3x + 2 = 1$ 有实数根，求 $k$ 的取值范围.

答案： 解:①当k=0时,原方程为-3x+2=1,解得x=1/3.
∴k=0符合题意.②当k≠0时,此时原方程为一元二次方程.化简,得kx²-3x+1=0.
∴Δ=(-3)²-4k≥0,解得k≤9/4.
∴k≤9/4且k≠0.综上所述,k的取值范围是k≤9/4.

11. (2024·南昌市南昌县月考)已知关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c = 0$($a$，$b$，$c$ 为常数).若 $a + c ＜ 0$ 且 $c ＞ 0$，则关于方程根的情况，下列说法最恰当的是(A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个实数根
D.没有实数根

答案： 11.A

12. 若一元二次方程 $x^{2}-4x + a = 0$ 无实数根，则一次函数 $y = (a - 4)x + a$ 不经过(D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 12.D

13. （2023·南昌外国语学校月考）关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c)x^{2}+2bx + (a - c) = 0$，其中 $a$，$b$，$c$ 分别为 $\triangle ABC$ 三边的长.如果方程有两个相等的实数根，试判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由.

答案： 解:△ABC是直角三角形,理由如下:
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(2b)²-4(a+c)(a-c)=0.
∴4b²-4a²+4c²=0.
∴a²=b²+c².
∴△ABC是直角三角形.

14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + \frac{1}{2} = 0$.
（1）若 $x = 1$ 是方程的一个解，写出 $a$，$b$ 满足的关系式.
（2）当 $b = a + 1$ 时，利用根的判别式判断方程的根的情况.
（3）新考向 开放性问题 若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的正整数 $a$，$b$ 的值，并求出此时方程的根.

答案： 解:
(1)
∵x=1是方程的一个解,
∴a+b+1/2=0.
∴a+b=-1/2.
(2)Δ=b²-4a×1/2=b²-2a.
∵b=a+1,
∴Δ=(a+1)²-2a=a²+2a+1-2a=a²+1＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
(3)
∵方程有两个相等的实数根,
∴b²-2a=0,即b²=2a.
∵a,b为正整数,
∴可以取a=2,b=2.
∴方程为2x²+2x+1/2=0,解得x₁=x₂=-1/2.(答案不唯一)

15. 等腰三角形的一边长是 $3$，另外两边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + k = 0$ 的两个根，则 $k$ 的值为 3或4.

答案： 15.3或4