《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

9. (本课时 T8 变式)在二次函数 $ y = ax^2 $ ($ a ＜ 0 $)对称轴右侧的图象上有 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $ 两点，若 $ y_1 ＞ y_2 $，则 $ x_1 $＜$ x_2 $.(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

答案： ＜

10. 当 $ ab ＞ 0 $ 时，$ y = ax^2 $ 与 $ y = ax + b $ 的图象大致是 (D)

答案： D

11. 如图，正方形 $ OABC $ 的边长为 $ 2 $，$ OC $ 与 $ y $ 轴正半轴的夹角为 $ 30° $，点 $ A $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ ($ a ＜ 0 $)的图象上，则 $ a $ 的值为 (D)

A.$ -3 $
B.$ -\sqrt{3} $
C.$ -\frac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ -\frac{1}{3} $

答案： D

12. (2023·赣州大余县月考)已知四条抛物线所对应的函数解析式分别为：① $ y = ax^2 $；② $ y = bx^2 $；③ $ y = cx^2 $；④ $ y = dx^2 $，其函数图象如图所示. 比较 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 的大小：$ a＞b＞d＞c $(用“$ ＞ $”连接).

答案： $ a＞b＞d＞c $

13. 关于抛物线 $ y = -x^2 $，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点.
②当 $ x ＞ 10 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
③当 $ -1 ＜ x ＜ 2 $ 时，$ -4 ＜ y ＜ -1 $.
④若 $ (m,p) $，$ (n,p) $ 是该抛物线上两个不同的点，则 $ m + n = 0 $.
其中正确的有①②④.(填序号)

答案： ①②④

14. 已知 $ y = (k + 2)x^{k^2 + k - 4} $ 是二次函数，且当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(1)求 $ k $ 的值.
(2)如果点 $ P(m,n) $ 是此二次函数的图象上一点，若 $ -2 \leq m \leq 1 $，则 $ n $ 的取值范围为$ -4\leqslant n\leqslant0 $(直接写出结果).

答案： 解:
(1)根据题意,得$ k+2\neq0 $且$ k^{2}+k-4=2 $,解得$ k_{1}=-3,k_{2}=2 $.
∵当$ x＜0 $时,$ y $随$ x $的增大而增大,
∴二次函数的图象的开口向下,即$ k+2＜0 $,解得$ k＜-2 $.
∴$ k=-3 $.
(2)$ -4\leqslant n\leqslant0 $

15. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A(2,4) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ 上，过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $ B $. 点 $ C $，$ D $ 在线段 $ AB $ 上，分别过点 $ C $，$ D $ 作 $ x $ 轴的垂线交抛物线于 $ E $，$ F $ 两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当四边形 $ CDFE $ 为正方形时，求线段 $ CD $ 的长.

答案： 解:
(1)
∵点$ A(2,4) $在抛物线$ y=ax^{2} $上,
∴$ 4=4a $,解得$ a=1 $.
∴抛物线的解析式为$ y=x^{2} $.
(2)
∵四边形$ CDFE $为正方形,
∴$ CD// EF $,$ CD=EC=EF $.又
∵$ AB\perp y $轴,
∴$ EF\perp y $轴,即$ EF// x $轴.设点$ E $的横坐标为$ m(m＞0) $,
∵点$ E $在抛物线上,
∴$ E(m,m^{2}) $.
∴$ EF=2m $.又
∵$ AB\perp y $轴,$ CE\perp x $轴,$ A(2,4) $,
∴$ C(m,4) $.
∴$ EC=4-m^{2} $.
∵$ EC=EF $,
∴$ 4-m^{2}=2m $.解得$ m_{1}=-1-\sqrt{5} $(舍去),$ m_{2}=-1+\sqrt{5} $.
∴$ CD=2m=-2+2\sqrt{5} $.