《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

9. (2024·南昌期末改编)如图，$ \triangle ABC $ 为钝角三角形，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 按逆时针方向旋转 $ 120^{\circ} $ 得到 $ \triangle AB'C' $，连接 $ BB' $. 若 $ AC' // BB' $，则 $ \angle CAB' $ 的度数为(D)

A.$ 45^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $

答案： 9.D

10. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ}, \angle B = 30^{\circ}, AB = 6 $，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 15^{\circ} $ 得到 $ \triangle AB'C' $，$ B'C' $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，则 $ B'E = $3√3-3.

答案： 10.3√3-3

11. 【转化思想】如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 6 $，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 按逆时针方向旋转 $ 30^{\circ} $ 后得到 $ \triangle A_1BC_1 $，则阴影部分的面积为9.

答案： 11.9

12. (2023·江西师大附中期中)已知在矩形 $ ABCD $ 中，$ AD = 5, AB = 3 $，现将边 $ AD $ 绕它的一个端点旋转，当另一端点恰好落在边 $ BC $ 所在直线的点 $ E $ 处时，线段 $ DE $ 的长度为√10或3√10或5.

答案： 12.√10或3√10或5

13. 如图，四边形 $ ABCD $ 是正方形，点 $ F $ 是 $ BA $ 延长线上一点，连接 $ DF $，$ \triangle ADF $ 绕点 $ A $ 旋转一定角度后得到 $ \triangle ABE $，$ AF = 3, AB = 7 $.
(1) 直接写出旋转角的度数.
(2) 求 $ DE $ 的长度.
(3) 求证：直线 $ BE \perp DF $.

答案： 13.解:
(1)旋转角的度数为90°.
(2)
∵△ADF绕点A旋转一定角度后得到△ABE,
∴AE=AF=3,AD=AB=7.
∴DE=AD-AE=7-3=4.
(3)证明:延长BE交DF于点H.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE=90°.
∵△ADF绕点A旋转一定角度后得到△ABE,
∴△ABE≌△ADF.
∴∠ABE=∠ADF.又
∵∠BEA=∠DEH,
∴∠DHE=∠BAE=90°.
∴BE⊥DF.

14. 如图 1，$ D $ 为等边三角形 $ ABC $ 内一点，将线段 $ AD $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到 $ AE $，连接 $ CE, BD $ 的延长线与 $ AC $ 交于点 $ G $，与 $ CE $ 交于点 $ F $.
(1) 求证：$ BD = CE $.
(2) 如图 2，连接 $ FA $，小颖对该图形进行探究，得出结论：$ \angle BFC = \angle AFB = \angle AFE $. 小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由.

答案： 14.解:
(1)证明:
∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,
∴AD=AE,∠DAE=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
(2)正确.证明:
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.又
∵∠AGB=∠CGF,
∴∠BFC=∠BAC=60°.
∴∠BFE=120°.过点A作BD,CF的垂线段,垂足分别为M,N,
∵△ABD≌△ACE,BD=CE,
∴1/2BD·AM=1/2CE·AN,即AM=AN.
∴∠AFM=∠AFN=1/2∠BFE=60°.
∴∠BFC=∠AFB=∠AFE.