《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

11. 一条抛物线的形状、开口方向与 $ y=\frac{1}{2}x^{2}-4x + 3 $ 相同，顶点为 $ (-2,1) $，则此抛物线的解析式为(C)

A.$ y=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+1 $
B.$ y=\frac{1}{2}(x + 2)^{2}-1 $
C.$ y=\frac{1}{2}(x + 2)^{2}+1 $
D.$ y=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}-1 $

答案： C

12. 二次函数的图象如图所示，则其解析式为$y=-x^{2}+2x+3$。

答案： $y=-x^{2}+2x+3$

13. 已知点 $ P(-1,5) $ 在抛物线 $ y = - x^{2}+bx + c $ 的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是 $ 4 $，则该抛物线的解析式为$y=-x^{2}-2x$或$y=-x^{2}-2x+8$。

答案： $y=-x^{2}-2x$或$y=-x^{2}-2x+8$

14. 如图，抛物线的顶点 $ M $ 在 $ y $ 轴上，抛物线与直线 $ y = x + 1 $ 相交于 $ A $，$ B $ 两点，且点 $ A $ 在 $ x $ 轴上，点 $ B $ 的横坐标为 $ 2 $，那么抛物线的函数解析式为$y=x^{2}-1$。

答案： $y=x^{2}-1$

15. (2024·辽宁改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = ax^{2}+bx + 3 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $，$ B $，点 $ B $ 的坐标为 $ (3,0) $。若点 $ C(2,3) $ 在抛物线上，求 $ AB $ 的长。

答案： 解：
∵抛物线$y=ax^{2}+bx+3$过点$B(3,0)$，$C(2,3)$，
∴$\left\{\begin{array}{l} 9a+3b+3=0,\\ 4a+2b+3=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=2.\end{array}\right. $
∴抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3$.
∴抛物线的对称轴是直线$x=-\frac {2}{2×(-1)}=1$.
∵抛物线与x轴的一交点为$B(3,0)$，
∴另一交点为$A(1-2,0)$，即$A(-1,0)$.
∴$AB=3-(-1)=4.$

16. 如图，抛物线 $ y = ax^{2}+bx - 5(a\neq0) $ 经过点 $ A(4,-5) $，与 $ x $ 轴的负半轴交于点 $ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，且 $ OC = 5OB $，抛物线的顶点为 $ D $。
(1) 求该抛物线的解析式。
(2) 连接 $ AB $，$ BC $，$ CD $，$ DA $，求四边形 $ ABCD $ 的面积。

答案： 解：
(1)
∵抛物线$y=ax^{2}+bx-5$与y轴交于点C，
∴点C的坐标为$(0,-5)$.
∴$OC=5$.
∵$OC=5OB$，
∴$OB=1$.又
∵点B在x轴的负半轴上，
∴点B的坐标为$(-1,0)$.将点$A(4,-5)$，$B(-1,0)$代入$y=ax^{2}+bx-5$，得$\left\{\begin{array}{l} 16a+4b-5=-5,\\ a-b-5=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-4.\end{array}\right. $
∴该抛物线的解析式为$y=x^{2}-4x-5$.
(2)
∵$y=x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9$，
∴顶点D的坐标为$(2,-9)$.连接AC.
∵$A(4,-5)$，$C(0,-5)$，
∴$AC// x$轴，$AC=4$.
∴$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}×4×5=10$，$S_{\triangle ACD}=\frac {1}{2}×4×[-5-(-9)]=8$.
∴$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=18.$