《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

10. (2023·南昌期中)对于抛物线$y_{1}=ax^{2}+bx + c$和抛物线$y_{2}=-ax^{2}-bx + c$，下列结论错误的是(C)

A.两条抛物线开口方向相反
B.两条抛物线对称轴相同
C.两条抛物线一定有两个不同的交点
D.两条抛物线关于直线$y = c$对称

答案： 10.C

11. (2024·南昌一模)一次函数$y = -ax + b(a\neq0)$与二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)

答案： 11.B

12. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的自变量$x$与函数值$y$之间满足下表中的数量关系，则:

(1)$a - b + c=$_________.5
(2)$4a - 2b + c=$_________.12

答案： 12.
(1)5
(2)12

13. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$在抛物线$y = x^{2}-2x + 4$上运动.过点$A$作$AC\perp x$轴于点$C$，以$AC$为对角线作矩形$ABCD$，连接$BD$，则对角线$BD$的最小值为3.

答案： 13.3

14. 如图，已知二次函数$y = x^{2}+ax + 3$的图象经过点$P(-2,3)$.
(1)求$a$的值和图象的顶点坐标.
(2)点$Q(m,n)$在该二次函数图象上.
①当$m = 2$时，求$n$的值.
②若点$Q$到$y$轴的距离小于2，请根据图象直接写出$n$的取值范围.

答案： 14.解:
(1)把$P(-2,3)$代入$y=x^{2}+ax+3$,得$3=(-2)^{2}-2a+3$,解得$a=2$.$\therefore y=x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2$.$\therefore$顶点坐标为$(-1,2)$.
(2)①把$x=2$代入$y=x^{2}+2x+3$,得$y=11$,$\therefore$当$m=2$时,$n=11$.②$2\leqslant n\lt 11$.

15. 已知抛物线$y = -x^{2}+bx + c(b,c$是常数)经过点$A(-1,0)$，顶点为$P$.
(1)当$b = 2$时，求抛物线顶点$P$的坐标.
(2)若点$C(b,1 + b)$和点$D(b + 1,0)$在对称轴的同一侧，且当自变量$x$满足$b\leqslant x\leqslant b + 1$时，其对应的函数$y$的最大值为$m$，最小值为$n$.若$m - n = 3$，求$b$的值.

答案： 15.解:
(1)$\because$抛物线$y=-x^{2}+bx+c$($b,c$是常数)经过点$A(-1,0)$,$\therefore 0=-1-b+c$.$\therefore c=b+1$.$\therefore$当$b=2$时,$c=3$.$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$.$\therefore$抛物线顶点$P$的坐标为$(1,4)$.
(2)由题意得,抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{b}{2}$.①当点$C(b,1+b)$和点$D(b+1,0)$都在对称轴的左侧时,则$\dfrac{b}{2}\geqslant b+1$,解得$b\leqslant -2$.$\because$当自变量$x$满足$b\leqslant x\leqslant b+1$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore m=0$,$n=1+b$.$\because m-n=3$,$\therefore 0-b-1=3$,解得$b=-4$;②当点$C(b,1+b)$和点$D(b+1,0)$都在对称轴的右侧时,则$\dfrac{b}{2}\leqslant b$,解得$b\geqslant 0$.$\because$当自变量$x$满足$b\leqslant x\leqslant b+1$时,$y$随$x$的增大而减小,$\therefore m=1+b$,$n=0$.$\because m-n=3$,$\therefore 1+b-0=3$,解得$b=2$.综上所述,$b$的值为$-4$或$2$.