《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

12. 如图，将两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心$O_{2}$恰好在大量角器的圆周上。设它们圆周的交点为$P$，且点$P$在小量角器上对应的刻度为$75^{\circ}$，则点$P$在大量角器上对应的刻度为(D)

A.$75^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： D

13. 如图，$AB$，$MN$是$\odot O$中互相垂直的直径，点$P$在$\overset{\frown}{AM}$上，且不与点$A$，$M$重合，过点$P$作$AB$，$MN$的垂线，垂足分别是$D$，$C$。当点$P$在$\overset{\frown}{AM}$上移动时，矩形$PCOD$的形状、大小随之变化，则$PC^{2} + PD^{2}$的值(C)

A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.不变
D.不能确定

答案： C

14. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10$。若以点$C$为圆心，$CB$的长为半径的圆恰好经过$AB$的中点$D$，则$AC =$$5\sqrt{3}$。

答案： $5\sqrt{3}$

15. (教材P81练习T3变式)如图，$BD$，$CE$分别是$\triangle ABC$的高，$M$为$BC$的中点。求证：点$B$，$C$，$D$，$E$在以点$M$为圆心的同一个圆上。

答案： 证明:连接 ME,MD.
∵ BD,CE 分别是$\triangle ABC$的高,
∴$\angle BEC=$$\angle BDC=90^{\circ}$. 又
∵M 为 BC 的中点,
∴$ME=MD=MC=MB=\frac{1}{2}BC$.
∴点 B,C,D,E 在以点 M 为圆心的同一个圆上.

16. 如图，已知正方形$ABCD$在半圆$O$的内部，顶点$A$，$B$在圆上，$C$，$D$在直径上。
(1) 求证：$OD = OC$。
(2) 在正方形$ABCD$右侧再作一个小正方形$ECGF$，点$F$在圆周上。若正方形$ABCD$的边长为$4$，求正方形$ECGF$的边长。

答案： 解:
(1)证明:连接 OA,OB,则 OA=OB.
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴AD=BC,$\angle ADO=\angle BCO=90^{\circ}$.
∴$\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=\sqrt{OB^{2}-BC^{2}}$.
∴OD=OC.
(2)连接 OF,则 OF=OA. 设正方形 ECGF 的边长为 x,则OD=OC=2,AD=4.
∴$OA^{2}=OF^{2}=2^{2}+4^{2}=20$. 在 Rt$\triangle OFG$中,$OG^{2}$+$FG^{2}=OF^{2}$,即$(x+2)^{2}+x^{2}=20$,解得 x=2.
∴正方形 ECGF 的边长为 2.

1. 如图，点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle C = 28^{\circ}$，则$\angle B =$$64^{\circ}$。

答案： $64^{\circ}$

2. 如图，$\odot O$的直径$AB$与弦$CD$的延长线交于点$E$。若$DE = OB$，$\angle AOC = 84^{\circ}$，则$\angle E =$$28^{\circ}$。

答案： $28^{\circ}$

3. 如图，点$D$，$E$分别在$\triangle ABC$的边$BC$，$AB$上，过$A$，$C$，$D$三点的圆的圆心为点$E$，以点$D$为圆心的圆过点$B$，$E$。如果$\angle A = 57^{\circ}$，那么$\angle ABC =$$22^{\circ}$。

答案： $22^{\circ}$