《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

11. 【整体思想】若 $x = m$ 是方程 $x^{2}+2x - 1 = 0$ 的根，则 $2m^{2}+4m - 3=$ (B)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： B

12. (2024·凉山州改编)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0$ 的一个根是 $0$，则 $a$ 的值为 (A)

A.$1$
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$0$

答案： A

13. 已知一元二次方程 $ax^{2}+ax - 4 = 0$ 有一个根是 $-2$，则一次函数 $y = ax - 3$ 的图象经过的象限是 (D)

A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限

答案： D

14. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}-bx - 2024 = 0$ 满足 $a + b = 2024$，则方程必有一根为(B)

A.$1$
B.$-1$
C.$\pm1$
D.无法确定

答案： B

15. 新考向 数学文化 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多 $6$ 尺，门的对角线长为 $1$ 丈($1$ 丈 $= 10$ 尺)，那么门的高和宽各是多少？”设门的宽为 $x$ 尺，根据题意可列方程为$x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$.

答案： $x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$

16. （教材 P4 综合运用变式）根据下列问题设未知数列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
(1) 为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排 $55$ 场比赛，求参赛的足球队个数.
(2) 一山羊养殖户要用 $36m$ 长的建筑材料建一个面积为 $80m^{2}$ 的矩形羊舍，求羊舍的长.

答案： 解:
(1)设参赛的足球队有x个.根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=55$.整理,得$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-55=0$.
(2)设羊舍的长为x m,则宽为$(\frac{36}{2}-x)$m.根据题意,得$x(\frac{36}{2}-x)=80$.整理,得$-x^{2}+18x-80=0$.

17. 已知关于 $x$ 的方程 $(m^{2}-9)x^{2}+(m + 3)x + 2 = 0$.
(1) 当 $m$ 为何值时，此方程是一元一次方程？
(2) 当 $m$ 为何值时，此方程是一元二次方程？

答案： 解:
(1)由题意,得$m^{2}-9=0$且$m+3≠0$时,方程是一元一次方程,所以$m=3$.
(2)由题意,得$m^{2}-9≠0$时,方程是一元二次方程,所以$m≠\pm 3$.

18. 【整体思想】若 $a$ 是方程 $x^{2}-2024x + 1 = 0$ 的一个根，求代数式 $a^{2}-2025a+\frac{a^{2}+1}{2024}$ 的值.

答案： 解:由题意,得$a^{2}-2024a+1=0$.$\therefore a^{2}+1=2024a$,$a^{2}-2024a=-1$.$\therefore a^{2}-2025a+\frac{a^{2}+1}{2024}=a^{2}-2024a-a+\frac{2024a}{2024}=-1-a+a=-1$.