《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

综合与实践：
【主题】三角点阵中前$n$行的点数计算.
【素材】如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有$1$个点，第二行有$2$个点$\cdots\cdots$第$n$行有$n$个点.如果要用试验的方法，由上而下逐行相加其点数，容易发现，前$n$行的点数和是$1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 2) + (n - 1) + n$，可以发现$2[1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 2) + (n - 1) + n] = [1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 2) + (n - 1) + n] + [n + (n - 1) + (n - 2) + \cdots + 3 + 2 + 1]$，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加$\cdots\cdots$第$n$项相加，整个式子等于$n(n + 1)$，于是得到$1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 2) + (n - 1) + n = \frac{1}{2}n(n + 1)$.这就是说，三角点阵中前$n$行的点数和是$\frac{1}{2}n(n + 1)$.
【实践探索】请根据上述材料回答下列问题：
(1)请用一元二次方程解决问题：三角点阵中$300$是前多少行的点数之和？
(2)三角点阵中前$n$行的点数之和可能是$600$吗？如果可能，求出$n$的值；如果不可能，请说明理由.
(3)如果把上述三角点阵图中各行的点数依次换为$1$，$3$，$5$，$\cdots$，$2n - 1$，请直接写出前$n$行的点数之和满足的规律.（用含$n$的代数式表示）

答案：
(1)设三角点阵中300是前n行的点数之和.根据题意,得$\frac{1}{2}n(n+1)$=300.整理,得$n^{2}+n-600=0$,解得$n_{1}=24$,$n_{2}=-25$(不合题意,舍去).
答:三角点阵中300是前24行的点数之和.
(2)三角点阵中前n行的点数之和不可能是600.理由如下:设三角点阵中前n行的点数之和是600.根据题意,得$\frac{1}{2}n(n+1)=600$.整理,得$n^{2}+n-1200=0$,解得$n_{1}=\frac{-1+\sqrt{4801}}{2}$,$n_{2}=\frac{-1-\sqrt{4801}}{2}$.
∵该方程没有正整数根,
∴三角点阵中前n行的点数之和不可能是600.
(3)$1+3+5+\cdots+(2n-1)=\frac{1}{2}n(2n-1+1)=n^{2}$,
∴前n行的点数之和为$n^{2}$.