《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

1. (教材 P17 习题 T7 变式)不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1) $2x^{2}+5x - 1 = 0$：$x_{1}+x_{2}=$$-\frac{5}{2}$，$x_{1}x_{2}=$$-\frac{1}{2}$.
(2) $-x^{2}+6x - 2 = 0$：$x_{1}+x_{2}=$6，$x_{1}x_{2}=$2.
(3) $4x^{2}+1 = 7x$：$x_{1}+x_{2}=$$\frac{7}{4}$，$x_{1}x_{2}=$$\frac{1}{4}$.
(4) $3x^{2}-1 = 0$：$x_{1}+x_{2}=$0，$x_{1}x_{2}=$$-\frac{1}{3}$.

答案： 1.
(1)$-\frac{5}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2)6 2
(3)$\frac{7}{4}$ $\frac{1}{4}$
(4)0 $-\frac{1}{3}$

2. (2023·南昌青山湖区模拟)关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+3x + m = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$，$x_{2}$，且 $x_{1}\cdot x_{2}=-4$，则 $m=$-4.

答案： 2.-4

3. (2021·江西)已知 $x_{1}$，$x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-4x + 3 = 0$ 的两根，则 $x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}=$1.

答案： 1

4. 已知 $x_{1}$，$x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-5x - 2 = 0$ 的两根，不解方程求下列各式的值：
(1) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$.
(2) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$.

答案： 4.解:由题可知$x_{1}+x_{2}=5$,$x_{1}x_{2}=-2$.
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=5^{2}-2×(-2)=29$.
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.

5. (2023·岳阳)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2mx + m^{2}-m + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$，$x_{2}$，且 $x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=2$，则 $m=$3.

答案： 5.3

6. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 $6$ 和 $1$；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 $-2$ 和 $-5$。则原来的方程是(B)

A.$x^{2}+6x + 5 = 0$
B.$x^{2}-7x + 10 = 0$
C.$x^{2}-5x + 2 = 0$
D.$x^{2}-6x - 10 = 0$

答案： 6.B

7. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx - 20 = 0$ 的一个根是 $-4$，则它的另一个根是5.

答案： 5

8. (2023·江西师大附中月考)若 $m$，$n$ 分别是一元二次方程 $x^{2}-4x + 1 = 0$ 的两个根，则 $m^{2}-3m + n$ 的值为3.

答案： 8.3

9. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-8x + m = 0$ 的两个根为 $x_{1}$，$x_{2}$，且 $x_{1}=3x_{2}$，则 $m$ 的值为12.

答案： 9.12

10. (2023·江西师大附中期中)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2(k - 1)x + k^{2}-1 = 0$ 有实数根.
(1)求实数 $k$ 的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为 $x_{1}$，$x_{2}$，若 $(x_{1}-1)(x_{2}-1)=6$，求 $k$ 的值.

答案： 10.解:
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+2(k-1)x+k^{2}-1=0$有实数根,
∴$\Delta=[2(k-1)]^{2}-4(k^{2}-1)\geq0$,解得$k\leq1$.
(2)
∵方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,
∴$x_{1}+x_{2}=-2(k-1)$,$x_{1}x_{2}=k^{2}-1$.
∵$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=6$,
∴$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=6$.
∴$k^{2}-1+2(k-1)+1=6$,解得$k=-4$或$k=2$.
∵$k\leq1$,
∴$k=-4$.

11. 已知 $a$，$b$ 分别满足 $a^{2}-6a + 4 = 0$，$b^{2}-6b + 4 = 0$，则 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 的值是2或7.

答案： 11.2或7