《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

【例】二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象如图所示，对称轴是直线$x = 1$，根据函数图象用“$＞$”“$＜$”“$\geqslant$”“$\leqslant$”或“$=$”填空。

(1)根据函数图象判断$a,b,c$类：
①$a$＜$0$，$b$＞$0$，$c$＞$0$；
(2)$b^{2}-4ac$类：
②$b^{2}-4ac$＞$0$；
(3)$-\dfrac{b}{2a},2a + b$类：
③$-\dfrac{b}{2a}$＞$0$；④$2a + b$=$0$；
(4)当$x=\pm1,\pm2$类：
⑤$a + b + c$＞$0$，$a - b + c$＜$0$；
⑥$4a + 2b + c$＞$0$，$4a - 2b + c$＜$0$；
(5)最值：
⑦$a + b + c$≥$am^{2}+bm + c$($m$为任意实数)。

答案： ①＜ ＞ ＞ ②＞ ③＞ ④= ⑤＞ ＜ ⑥＞ ＜ ⑦≥

1. (2024·甘孜州)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a＞0)$的图象如图所示，给出下列结论：①$c＜0$；②$-\dfrac{b}{2a}＞0$；③当$-1＜x＜3$时，$y＜0$。其中所有正确结论的序号是(D)

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： 1.D

2. (2024·青岛)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，对称轴是直线$x = -1$，则过点$M(c,2a - b)$和点$N(b^{2}-4ac,a - b + c)$的直线一定不经过(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.C

3. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是(C)

A.$abc＜0$
B.$4a - 2b + c＜0$
C.$3a + c = 0$
D.$am^{2}+bm\leqslant a + b$($m$为任意实数)

答案： 3.C

4. (2024·泰安)如图所示的是二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的部分图象，该函数图象的对称轴是直线$x = 1$，图象与$y$轴交点的纵坐标是$2$。下列结论：①$2a + b = 0$；②方程$ax^{2}+bx + c = 0$一定有一个根在$-2$和$-1$之间；③方程$ax^{2}+bx + c-\dfrac{3}{2}=0$一定有两个不相等的实数根；④$b - a＜2$。其中，正确结论的个数为(B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 4.B

5. 数形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题。已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示。下列结论：①$ab＞0$；②$4a - 2b + c＜0$；③$2a - b＜0$；④$\vert a + c\vert＜\vert b\vert$。其中正确的有①②③④(填序号)。

答案： 5.①②③④