《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

11. 新考向 真实情境 自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地. 如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，$\overset{\frown}{AB}$是⊙O的一部分，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB. 已知AB = 18 cm，碗深CD = 6 cm，求OA的长.
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答案： 解:
∵D是$\widehat{AB}$的中点,
∴OD⊥AB.
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×18=$9(cm).设OA=r cm,则OC=(r-6)cm.在Rt△OAC中,由勾股定理,得OC²+AC²=OA²,即(r-6)²+9²=r²,解得r=$\frac{39}{4}$.
∴OA的长为$\frac{39}{4}$cm.

12. 下列说法正确的是(D)

A.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C.过弦的中点的直径垂直于弦
D.平分弦所对的两条弧的直径平分弦

答案： D

13. 点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP = (B)

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

答案： B

14. (2023·南昌青山湖区期末)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E. 若AC = $4\sqrt{2}$，DE = 4，则BC的长是2.

答案： 2

15. 已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB = 8，CD = 6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为1或7.

答案： 1或7

16. 新考向 真实情境 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，隋代建造的赵州桥距今约有1 400年历史，是我国古代石拱桥的代表. 图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧，表示为$\overset{\frown}{AB}$，桥的跨度(弧所对的弦长)AB = 26 m. 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D，拱高(弧的中点到弦的距离)CD = 5 m，连接OB.
(1)直接判断AD与BD的数量关系.
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1 m).

答案： 解:
(1)AD=BD.
(2)设主桥拱的半径为r m.
∵AB=26 m,CD=5 m,OC⊥OB,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=13 m,OD=OC-CD=(r-5)m.
∵∠ODB=90°,
∴OD²+BD²=OB².
∴(r-5)²+13²=r²,解得r=19.4≈19.
答:这座石拱桥主桥拱的半径约为19 m.

17. 如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.
(1)求证：点E是OB的中点.
(2)若AB = 6，求CD的长.
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答案： 解:
(1)证明:连接AC.
∵AB⊥CD,
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$.
∴AC=AD.
∵CF⊥AD,
∴AF=DF,即CF是AD的垂直平分线.
∴AC=CD.
∴AC=AD=CD.
∴△ACD是等边三角形.
∴∠FCD=30°.在Rt△COE中,∠OCE=30°,
∴OE=$\frac{1}{2}$OC.
∴OE=$\frac{1}{2}$OB.
∴点E是OB的中点.
(2)
∵AB=6,
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=3.
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$.
∴CE=$\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$.
∵AB⊥CD,
∴CD=2CE=$3\sqrt{3}$.