《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

新考向 综合与实践 问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为$\triangle ABC$和$\triangle DFE$，其中$\angle ACB=\angle DEF=90^{\circ}$，$\angle A=\angle D$.将$\triangle ABC$和$\triangle DFE$按如图2所示的方式摆放，其中点$B$与点$F$重合（标记为点$B$）.当$\angle ABE=\angle A$时，延长$DE$交$AC$于点$G$.试判断四边形$BCGE$的形状，并说明理由.

（1）数学思考：请你解答老师提出的问题.
（2）深入探究：老师将图2中的$\triangle DBE$绕点$B$逆时针方向旋转，使点$E$落在$\triangle ABC$内部，并让同学们提出新的问题.
①“善思小组”提出问题：如图3，当$\angle ABE=\angle BAC$时，过点$A$作$AM\perp BE$，交$BE$的延长线于点$M$，$BM$与$AC$交于点$N$.试猜想线段$AM$和$BE$的数量关系，并加以证明.
②“智慧小组”提出问题：如图4，当$\angle CBE=\angle BAC$时，$AB$交$DE$于点$M$，若$BC=9$，$AC=12$，求$AM$的长.请你思考此问题，写出解题过程.

答案：
(1)四边形 BCGE 为正方形. 理由如下:$\because ∠BED=90^{\circ },\therefore ∠BEG=180^{\circ }-∠BED=90^{\circ }.\because ∠ABE=∠A,\therefore AC// BE.\therefore ∠CGE=∠BED=90^{\circ }.\because ∠C=90^{\circ }$,
∴四边形 BCGE 为矩形.$\because △ACB\cong △DEB,\therefore BC=BE$.
∴矩形 BCGE 为正方形.
(2)①猜想:$AM=BE$. 证明:$\because ∠ABE=∠BAC,\therefore AN=BN.\because ∠C=90^{\circ },\therefore BC⊥AN.\because AM⊥BE$,即$AM⊥BN,\therefore S_{△ABN}=\frac {1}{2}AN\cdot BC=\frac {1}{2}BN\cdot AM.\because AN=BN,\therefore BC=AM$.由
(1)得,$BE=BC,\therefore AM=BE$.②过点 M 作$MG⊥BD$于点 G.$\because △ACB\cong △DEB,\therefore BE=BC=9,DE=AC=12,∠A=∠D,∠ABC=∠DBE.\therefore ∠CBE=∠DBM.\because ∠CBE=∠BAC,\therefore ∠D=∠DBM.\therefore MD=MB$.在$Rt△MEB$中,$BM^{2}=(12-BM)^{2}+BE^{2}$,解得$BM=\frac {75}{8}$.在$Rt△ABC$中,$AB=\sqrt {AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt {9^{2}+12^{2}}=15.\therefore AM=AB-BM=15-\frac {75}{8}=\frac {45}{8}.$