《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

3. ①将 $x^2 - 2x - 3$ 分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，即

所以 $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$。
我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为 $x^2 - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b)$。
②根据乘法原理：若 $ab = 0$，则 $a = 0$ 或 $b = 0$。
依照上面的方法，解下列方程：
(1)$x^2 - x - 12 = 0$。
(2)$x^2 - 7x + 10 = 0$。

答案： 3.解:
(1)$(x-4)(x+3)=0,x-4=0$或$x+3=0,\therefore x_{1}=4,x_{2}=-3$.
(2)$(x-5)(x-2)=0,x-5=0$或$x-2=0,\therefore x_{1}=5,x_{2}=2.$

4. 新考向 阅读理解（2023·南昌三中月考）阅读下面例题的解答过程，体会其方法，并借鉴例题的解法解方程。
例：解方程 $x^2 - |x - 1| - 1 = 0$。
解：①当 $x - 1 \geq 0$，即 $x \geq 1$ 时，
$|x - 1| = x - 1$。
原方程化为 $x^2 - (x - 1) - 1 = 0$，
即 $x^2 - x = 0$，
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 1$。
$\because x \geq 1$，$\therefore x = 1$；
②当 $x - 1 ＜ 0$，即 $x ＜ 1$ 时，
$|x - 1| = - (x - 1)$。
原方程化为 $x^2 + (x - 1) - 1 = 0$，
即 $x^2 + x - 2 = 0$，
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = - 2$。
$\because x ＜ 1$，$\therefore x = - 2$。
综上所述，原方程的解为 $x_1 = 1$，$x_2 = - 2$。
解方程 $x^2 - |x - 2| - 4 = 0$。

答案： 4.解:①当$x-2\geq 0$,即$x\geq 2$时,$|x-2|=x-2$.原方程化为$x^{2}-(x-2)-4=0$,即$x^{2}-x-2=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=-1.\because x\geq 2,\therefore x=2$;②当$x-2＜0$,即$x＜2$时,$|x-2|=-(x-2)$.原方程化为$x^{2}+(x-2)-4=0$,即$x^{2}+x-6=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=-3.\because x＜2,\therefore x=-3$.综上所述,原方程的解为$x_{1}=2,x_{2}=-3.$

5. 新考向 阅读理解 阅读材料，解答问题。
解方程：$(4x - 1)^2 - 10(4x - 1) + 24 = 0$。
解：把 $4x - 1$ 视为一个整体，设 $4x - 1 = y$，
则原方程可化为 $y^2 - 10y + 24 = 0$。
解得 $y_1 = 6$，$y_2 = 4$。
$\therefore 4x - 1 = 6$ 或 $4x - 1 = 4$。
$\therefore x_1 = \frac{7}{4}$，$x_2 = \frac{5}{4}$。
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想。
请仿照材料解下列方程：
(1)$x^4 - x^2 - 6 = 0$。
(2)$(x^2 - 2x)^2 - 5x^2 + 10x - 6 = 0$。

答案： 5.解:
(1)设$x^{2}=y$,则原方程可化为$y^{2}-y-6=0$,解得$y_{1}=3,y_{2}=-2$.当$y=3$时,$x^{2}=3,\therefore x=\pm \sqrt {3}$;当$y=-2$时,$x^{2}=-2$,无实数解.$\therefore$原方程的解为$x_{1}=\sqrt {3},x_{2}=-\sqrt {3}$.
(2)设$x^{2}-2x=y$,则原方程可化为$y^{2}-5y-6=0$,解得$y_{1}=6,y_{2}=-1$.当$y=6$时,$x^{2}-2x=6$,解得$x_{1}=1+\sqrt {7},x_{2}=1-\sqrt {7}$;当$y=-1$时,$x^{2}-2x=-1$,解得$x_{3}=x_{4}=1$.综上所述,原方程的解为$x_{1}=1+\sqrt {7},x_{2}=1-\sqrt {7},x_{3}=x_{4}=1.$