《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

11. 如果一个一元二次方程的二次项是$ 2x^{2} $，配方后整理得$ (x-\frac{1}{2})^{2}=1 $，那么它的一次项和常数项分别是(C)

A.$ -x,-\frac{3}{4} $
B.$ -2x,-\frac{1}{2} $
C.$ -2x,-\frac{3}{2} $
D.$ x,-\frac{3}{2} $

答案： 11.C

12. 规定：$ a\otimes b=(a+b)b $，如：$ 2\otimes3=(2+3)×3=15 $.若$ 2\otimes x=3 $，则$ x= $1或$-3$.

答案： 12.1或$-3$

13. 若一元二次方程$ x^{2}-4x-1596=0 $的两根为$ a,b $，且$ a＞b $，则$ 3a+b $的值为88.

答案： 13.88

14. 用配方法解下列方程：
(1) $ x^{2}-6x+1=4x-8 $.
(2) $ 2x(x-5)=2x+6 $.

答案： 14.解:
(1)$x^2-10x=-9$,$x^2-10x+25=25-9$,即$(x-5)^2=16$.$\therefore x-5=\pm 4$.$\therefore x_1=9$,$x_2=1$.
(2)$2x^2-12x=6$,$x^2-6x=3$,$x^2-6x+9=3+9$,即$(x-3)^2=12$.$\therefore x-3=\pm 2\sqrt{3}$.$\therefore x_1=3+2\sqrt{3}$,$x_2=3-2\sqrt{3}$.

15. 已知方程$ x^{2}-8x+m=0 $可以通过配方写成$ (x-n)^{2}=6 $的形式，求方程$ x^{2}+8x+m=6 $的解.

答案： 15.解:$\because x^2-8x+m=0$,$\therefore (x-4)^2=16-m$.$\because$方程$x^2-8x+m=0$可以通过配方写成$(x-n)^2=6$的形式,$\therefore 16-m=6$,解得$m=10$.把$m=10$代入$x^2+8x+m=6$,得$x^2+8x+10=6$.配方,得$x^2+8x+16=6-10+16$,即$(x+4)^2=12$.解得$x_1=-4+2\sqrt{3}$,$x_2=-4-2\sqrt{3}$.

16. 【整体思想】已知实数$ x $满足$ 4x^{2}+\frac{4}{x^{2}}-16x-\frac{16}{x}+24=0 $，则$ x+\frac{1}{x} $的值为2.

答案： 16.2

【例】填空：
(1) $ x^{2}+4x+8=(x+$2$ )^{2}+$4.
$\because$不论$ x $取何值，$ (x+$2$ )^{2} $总是非负数，即$ (x+$2$ )^{2}\geqslant0 $，$\therefore (x+$2$ )^{2}+$4$\geqslant$4.
$\therefore$当$ x=$-2时，$ x^{2}+4x+8 $有最小值为4.
$\therefore$原式子的值必为正数.(填“正”或“负”)
(2) $ -x^{2}+2x+4=-(x-$1$ )^{2}+$5.
$\because$不论$ x $取何值，$ -(x-$1$ )^{2} $总是非正数，即$ -(x-$1$ )^{2}\leqslant0 $，$\therefore -(x-$1$ )^{2}+$5$\leqslant$5.
$\therefore$当$ x=$1时，$ -x^{2}+2x+4 $有最大值为5.
【方法归纳】用配方法求代数式的最值，需要把代数式配方成$ a(x+h)^{2}+k $的形式，当$ a＞0,x=-h $时，该代数式有最小值$ k $；当$ a＜0,x=-h $时，该代数式有最大值$ k $.

答案： 【例】
(1)2 4 2 2 2 4 4 -2 4 正
(2)1 5 1 1 1 5 5 1 5

1. 不论$ a $为何实数，多项式$ a^{2}+3a+5 $的值一定是(A)

A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定

答案： 1.A

2. 对于代数式$ -3x^{2}-6x+1 $，当$ x=$-1时，代数式有最大(填“大”或“小”)值，其值为4.

答案： 2.-1 大 4

3. 设$ a,b $为实数，求代数式$ a^{2}+b^{2}-4a-2b+6 $的最小值.

答案： 3.解:$a^2+b^2-4a-2b+6=a^2-4a+4+b^2-2b+1+1=(a-2)^2+(b-1)^2+1$.$\because (a-2)^2\geq 0$,$(b-1)^2\geq 0$,$\therefore (a-2)^2+(b-1)^2+1\geq 1$.$\therefore$代数式$a^2+b^2-4a-2b+6$的最小值为1.