《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

1. (2024·江西)如图,一小球从斜坡点O以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数$y = ax^{2}+bx(a\lt0)$刻画,斜坡可以用一次函数$y=\frac{1}{4}x$刻画,小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表:

(1)①$m =$3,$n =$6.
②若小球的落点是A,求点A的坐标.
(2)小球飞行的高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系:$y = - 5t^{2}+vt$.
①小球飞行的最大高度为8米.
②求v的值.

答案： 1.解:
(1)①3 6 ②将(2,6),(4,8)代入y=ax²+bx,得{4a+2b=6,16a+4b=8,解得{a=-1/2,b=4.
∴y=-1/2x²+4x.联立{y=-1/2x²+4x,y=1/4x,解得{x=0,y=0或{x=15/2,y=15/8.
∴点A的坐标是(15/2,15/8).
(2)①8 ②
∵y=-5t²+vt=-5(t-v/10)²+v²/20,
∴v²/20=8,解得v=4√10(负值舍去).

2. 已知抛物线$y_{1}=a(x - h_{1})^{2}+k_{1}$与x轴交于点$O(0,0)$,$A_{1}(2,0)$,且抛物线$y_{1}$的顶点$M_{1}$在直线$y = - x$上.
(1)直接写出抛物线$y_{1}$的解析式:$y_{1}=$x²-2x,顶点$M_{1}$的坐标为(1,-1).
(2)如图1,将抛物线$y_{1}$沿直线$y = - x$向右下方平移,与x轴交于点$A_{1}$,$A_{2}$.得到抛物线$y_{2}=a(x - h_{2})^{2}+k_{2}$,顶点为$M_{2}$;将抛物线$y_{2}$沿直线$y = - x$向右下方平移,与x轴交于点$A_{2}$,$A_{3}$,得到抛物线$y_{3}=a(x - h_{3})^{2}+k_{3}$,顶点为$M_{3}$……依此类推.
①求点$A_{2}$,$M_{2}$的坐标,并直接写出点$A_{3}$,$M_{3}$的坐标.
②求$M_{n}M_{n - 1}$的长.
(3)如图2,若Q是抛物线$y_{1}$上的一个动点,过点$P(-2,0)$引射线PQ,在射线PQ上取点N,使$QN = QP$.
①当点Q与点$M_{1}$重合时,对应的点N的坐标为(4,-2).
②请在图中描出随着点Q运动时对应的点N的位置,再用平滑的曲线连接起来,猜想曲线是什么函数的图象,并求点N所在曲线的函数解析式.

答案： 2.解:
(1)x²-2x (1,-1)
(2)①设y₂是由y₁向右平移b个单位长度所得,则M₂的横坐标为1+b,代入y=-x,得y=-1-b,
∴M₂(1+b,-1-b).
∴y₂=(x-b-1)²-1-b.
∵y₂过A₁(2,0),
∴(1-b)²-1-b=0,解得b₁=3,b₂=0(舍去).
∴y₂=(x-4)²-4.
∴M₂(4,-4).设A₂(x₂,0),则2+x₂/2=4,解得x₂=6,
∴A₂(6,0).同理可得A₃(12,0),M₃(9,-9).②根据M₁(1,-1),M₂(4,-4),M₃(9,-9),可得Mₙ₋₁((n-1)²,-(n-1)²),Mₙ(n²,-n²),
∴MₙMₙ₋₁=√[(n-1)²-n²]²+[-(n-1)²+n²]²=√2(2n-1).
(3)①(4,-2)②设Q(m,m²-2m),
∵QN=QP,P(-2,0).
∴N(2m+2,2m²-4m).令x=2m+2,y=2m²-4m,则m=x/2-1.
∴y=2(x/2-1)²-4(x/2-1)=1/2x²-4x+6.
∴点N所在曲线是二次函数的图象,点N所在曲线的图象略.