《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

1. 一个正多边形的中心角为 $30^{\circ}$，这个正多边形的边数是(D)

A.3
B.6
C.8
D.12

答案： D

2. 如图，正五边形 $ABCDE$ 内接于 $\odot O$，连接 $OC$，$OD$，则 $\angle COD =$(A)

A.$72^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$54^{\circ}$
D.$48^{\circ}$

答案： A

3. (2022·成都)如图，正六边形 $ABCDEF$ 内接于 $\odot O$。若 $\odot O$ 的周长等于 $6\pi$，则正六边形的边长为(C)

A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{6}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$

答案： C

4. 如图，正六边形 $ABCDEF$ 内接于 $\odot O$，半径为 4，则圆心 $O$ 到 $BC$ 的距离 $OM$ 为(B)

A.2
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.1

答案： B

5. 在半径为 5 的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为$5\sqrt{2}$。

答案： $5\sqrt{2}$

6. 如图，$B$ 是 $\odot O$ 上一点，$AC$ 为 $\odot O$ 内接正九边形的一边，则 $\angle ABC$ 的度数为$20^{\circ }$。

答案： $20^{\circ }$

7. 如图，点 $O$ 是正八边形 $A_1A_2\cdots A_8$ 外接圆的圆心，连接 $A_4A_6$。若 $\odot O$ 的半径为 $4\mathrm{cm}$，则 $A_4A_6 =$$4\sqrt{2}$$\mathrm{cm}$。

答案： $4\sqrt{2}$

8. (教材 P108 习题 T5 变式)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 $b = 3\mathrm{cm}$，则螺帽边长 $a =$$\sqrt{3}\ cm$。

答案： $\sqrt{3}\ cm$

9. 如图，$\odot O$ 的半径为 $R$，六边形 $ABCDEF$ 是圆内接正六边形，四边形 $EFGH$ 是正方形。
(1)求 $\angle OGF$ 的度数。
(2)求正六边形与正方形的面积比。

答案： 解:
(1)$\because \angle OFE=60^{\circ },\angle EFG=90^{\circ },\therefore \angle OFG=150^{\circ }$.$\because OF=EF=FG,\therefore \angle OGF=\frac{180^{\circ }-\angle OFG}{2}=15^{\circ }$.
(2)$S_{正六边形}=6×\frac{1}{2}× R×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^{2}$,$S_{正方形}=R^{2}$,$\therefore \frac{S_{正六边形}}{S_{正方形}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}R^{2}}{R^{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

10. 图 1 是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形。
如图 2，$AE$ 是 $\odot O$ 的直径，用直尺和圆规作 $\odot O$ 内接正八边形 $ABCDEFGH$（不写作法，保留作图痕迹）。

答案： 1. 作直径AE（已知）；
2. 作AE的垂直平分线，交⊙O于点C、G；
3. 分别作∠AOC、∠COE、∠EOG、∠GOA的角平分线，交⊙O于点B、D、F、H；
4. 顺次连接点A、B、C、D、E、F、G、H，得到⊙O内接正八边形ABCDEFGH。
（作图痕迹：保留作垂直平分线的弧痕、作角平分线的弧痕及各交点）