《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

11. (2022·青岛)如图，正六边形 $ABCDEF$ 内接于 $\odot O$，点 $M$ 在 $\overset{\frown}{AB}$ 上，则 $\angle CME$ 的度数为(D)


A.$30^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： D

12. 如图，正方形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$E$ 为 $\overset{\frown}{BC}$ 上一点，连接 $BE$。若 $\angle CBE = 15^{\circ}$，$BE = 5$，则正方形 $ABCD$ 的边长为(B)

A.7
B.$5\sqrt{2}$
C.$\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{5}$

答案： B

13. (2024·抚州一模)如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫。正方形 $ABCD$ 的边长为 $12\mathrm{cm}$，则裁出的矩形 $ADFE$ 的边 $AE$ 的长为$6\sqrt{3}\ cm$。

答案： $6\sqrt{3}\ cm$

14. 若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

答案： $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

15. 以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

16. 如图，$\odot O$ 是正方形 $ABCD$ 与正六边形 $AEFCGH$ 的外接圆。
(1)正方形 $ABCD$ 与正六边形 $AEFCGH$ 的边长之比为$\sqrt{2}:1$。
(2)连接 $BE$，$BE$ 是否为 $\odot O$ 的内接正 $n$ 边形的一边？如果是，求出 $n$ 的值；如果不是，请说明理由。

答案： 解:
(1)$\sqrt{2}:1$
(2)$BE$是$\odot O$的内接正十二边形的一边,理由:连接$OA,OB,OE$,在正方形$ABCD$中,$\angle AOB=90^{\circ }$,在正六边形$AEFCGH$中,$\angle AOE=60^{\circ }$,$\therefore \angle BOE=30^{\circ }$.$\because \frac{360^{\circ }}{30^{\circ }}=12$,$\therefore BE$是$\odot O$的内接正十二边形的一边,$n=12$.

17. 如图，$M$，$N$ 分别是半径为 $R$ 的 $\odot O$ 的内接正三角形 $ABC$，正方形 $ABCD$，正五边形 $ABCDE$，$\cdots$，正 $n$ 边形 $ABCDE\cdots$ 的边 $AB$，$BC$ 上的点，且 $BM = CN$，连接 $OM$，$ON$。

(1) 图 1 中 $\angle MON$ 的度数为$120^{\circ }$，$S_{四边形OMBN} =$$\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}$(用含 $R$ 的式子表示)。
(2) 图 2 中 $\angle MON$ 的度数为$90^{\circ }$，图 3 中 $\angle MON$ 的度数为$72^{\circ }$。
(3) ① $\angle MON$ 的度数与正 $n$ 边形的边数 $n$ 的关系是$\angle MON=\frac{360^{\circ }}{n}$(直接写出结果)。
② 当 $n = 8$，$R = 2$ 时，求 $S_{四边形OMBN}$ 的值。

答案： 解:
(1)$120^{\circ }$ $\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}$
(2)$90^{\circ }$ $72^{\circ }$
(3)①$\angle MON=\frac{360^{\circ }}{n}$ ②易证$S_{四边形OMBN}=S_{\triangle OBC}$,当$n=8$时,$\angle BOC=\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$,图略,过点$B$作$BH\perp OC$于点$H$.则$BH=\frac{\sqrt{2}}{2}OB=\frac{\sqrt{2}}{2}R=\sqrt{2}$.$\therefore S_{四边形OMBN}=S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}OC\cdot BH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$.