《2025年新课堂假期生活暑假生活北京教育出版社七年级数学华师大版》

4. 数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法.
（1）【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，问共有多少种不同的票价. 聪明的小慧是这样思考这个问题的，她用$A$、$B$、$C$、$D$4个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价. 由此可以得到有6种不同的票价.
（2）【迁移应用】$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$六支足球队进行单循环比赛（任意两支球队只进行1场比赛），当比赛到某一天时，统计出$A$、$B$、$C$、$D$、$E$五支球队已经分别进行了5、4、3、2、1场比赛，则$F$队进行了3场比赛.
（3）【拓展创新】某摄制组从$A$市到$B$市有一天的路程，计划上午比下午多走100km到$C$市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划路程的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400km，傍晚才停下来休息，司机说，再走从$C$市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求$A$、$B$两市相距多少千米.
解：$A$、$B$两市相距600千米.

答案： 【解析】：
（1）用$A$、$B$、$C$、$D$ $4$个点表示车站，从$A$点出发可连$AB$、$AC$、$AD$三条线段，从$B$点出发（不重复计算与$A$的连线）可连$BC$、$BD$两条线段，从$C$点出发（不重复计算前面已连的）可连$CD$一条线段，所以总共的线段数为$3 + 2 + 1 = 6$条，即有$6$种不同的票价。
（2）因为$A$队赛了$5$场，这说明$A$与$B$、$C$、$D$、$E$、$F$都比赛过了；$E$队只赛了$1$场，那么$E$这一场就是和$A$赛的；$B$队赛了$4$场，由于$E$只和$A$赛，所以$B$是和$A$、$C$、$D$、$F$赛的；$D$队赛了$2$场，是和$A$、$B$赛的；$C$队赛了$3$场，是和$A$、$B$、$F$赛的。所以$F$队和$A$、$B$、$C$各赛一场，共进行了$3$场比赛。
（3）设$A$市到$C$市的距离为$x$千米，则$C$市到$B$市的距离为$(x - 100)$千米，$A$市到$B$市的距离为$(2x - 100)$千米。上午原计划行驶$x$千米，实际行驶了$\frac{1}{3}x$千米，过小镇后行驶了$400$千米，此时距离$B$市还有$\frac{1}{2}$（$x-\frac{1}{3}x + 400-(x - 100)$）千米，可列方程：$\frac{1}{3}x+400+\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{3}x + 400-(x - 100)\right)=2x - 100$，化简方程：$\frac{1}{3}x+400+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}x + 400 - x + 100\right)=2x - 100$，$\frac{1}{3}x+400+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}x + 500\right)=2x - 100$，$\frac{1}{3}x+400-\frac{1}{6}x + 250=2x - 100$，$\frac{1}{6}x+650=2x - 100$，$2x-\frac{1}{6}x=650 + 100$，$\frac{11}{6}x=750$，$x = 350$。则$A$、$B$两市相距$2x - 100=2\times350 - 100 = 600$千米。
【答案】：（1）$6$；（2）$3$；（3）$600$

扩大养鱼塘
如图所示，有一个正方形的养鱼塘，四个角各有一棵大树. 生产队想把鱼塘扩大，使它成为一个面积比原来大一倍的正方形，而又不愿意把树挖掉，应当怎么办呢？
以原来正方形养鱼塘的每条边为新正方形的对角线来构建新的正方形，此时四棵树位于新正方形四条边的中点位置。

答案： 【解析】：设原来正方形养鱼塘的边长为$a$，面积为$a^2$。要使面积变为原来的$2$倍，即$2a^2$。新正方形的边长应为$\sqrt{2}a$。我们可以以原来正方形的每条边为新正方形的对角线来构建新正方形。因为原来正方形的对角线长度为$\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$，这样四棵树就刚好在新正方形四条边的中点位置，满足不挖掉树且鱼塘面积扩大一倍的要求。
【答案】：以原来正方形养鱼塘的每条边为新正方形的对角线来构建新的正方形，此时四棵树位于新正方形四条边的中点位置。