《2025年新课堂假期生活暑假生活北京教育出版社七年级数学华师大版》

4. 一底角为 $ 60 ^ { \circ } $ 的等腰梯形的腰长和一个正三角形的边长相等,同时使用这两种图形能否铺满平面? 若能,请设计一个方案;若不能,请说明理由.

答案： 【解析】：本题可先分别求出等腰梯形和正三角形的内角度数，再看能否通过组合使拼接点处的各角之和为$360^{\circ}$，若能，则可以铺满平面，反之则不能。
**步骤一：求出等腰梯形和正三角形的内角度数**
已知该等腰梯形的一底角为$60^{\circ}$，根据等腰梯形同一底上的两个底角相等，以及梯形的内角和为$360^{\circ}$，可求出该等腰梯形的另一个底角也为$60^{\circ}$，上底角为$(360^{\circ}-60^{\circ}\times2)\div2 = 120^{\circ}$。
因为正三角形的三个内角都相等，且三角形的内角和为$180^{\circ}$，所以正三角形的每个内角为$180^{\circ}\div3 = 60^{\circ}$。
**步骤二：判断能否铺满平面**
设用$x$个$60^{\circ}$角、$y$个$120^{\circ}$角可以铺满平面，则$60x + 120y = 360$，化简可得$x + 2y = 6$。
因为$x$、$y$均为正整数，所以该方程有正整数解，如$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$，$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$等，这说明可以通过组合使拼接点处的各角之和为$360^{\circ}$，所以能铺满平面。
**步骤三：设计铺满平面的方案**
可以用$2$个正三角形和$2$个等腰梯形进行拼接，将等腰梯形的$120^{\circ}$角与正三角形的$60^{\circ}$角依次拼接，围绕一个点可以铺满平面。
【答案】：能。方案：用$2$个正三角形和$2$个等腰梯形进行拼接，将等腰梯形的$120^{\circ}$角与正三角形的$60^{\circ}$角依次拼接，围绕一个点可以铺满平面。

5. 用若干块边长为 20 cm 的正三角形瓷砖和一块边长为 20 cm 的正六边形瓷砖铺成一边长为 1.2 m 的正六边形的地面,则需要这样的正三角形瓷砖多少块?

答案： 【解析】：本题可先分别计算出边长为$1.2m$（$120cm$）的正六边形地面的面积、边长为$20cm$的正六边形瓷砖的面积以及边长为$20cm$的正三角形瓷砖的面积，再通过面积关系求出正三角形瓷砖的数量。
- **步骤一：计算边长为$120cm$的正六边形地面的面积**
边长为$a$的正六边形可以分割成六个边长为$a$的正三角形，根据正三角形面积公式$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（其中$S$为面积，$a$为边长），可得边长为$120cm$的正六边形地面的面积为$6\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times120^2 = 21600\sqrt{3}cm^2$。
- **步骤二：计算边长为$20cm$的正六边形瓷砖的面积**
同理，边长为$20cm$的正六边形瓷砖可分割成六个边长为$20cm$的正三角形，其面积为$6\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times20^2 = 600\sqrt{3}cm^2$。
- **步骤三：计算边长为$20cm$的正三角形瓷砖的面积**
根据正三角形面积公式，边长为$20cm$的正三角形瓷砖的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}\times20^2 = 100\sqrt{3}cm^2$。
- **步骤四：计算需要正三角形瓷砖的数量**
设需要正三角形瓷砖$x$块，由边长为$120cm$的正六边形地面的面积等于边长为$20cm$的正六边形瓷砖的面积加上$x$块边长为$20cm$的正三角形瓷砖的面积，可列方程$21600\sqrt{3}=600\sqrt{3}+100\sqrt{3}x$，
解方程$21600\sqrt{3}-600\sqrt{3}=100\sqrt{3}x$，即$21000\sqrt{3}=100\sqrt{3}x$，两边同时除以$100\sqrt{3}$，可得$x = 210$。
【答案】：$210$