《2025年新课堂假期生活暑假生活北京教育出版社七年级数学华师大版》

思考题
某商店准备购进甲、乙两种商品.已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元.
(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件.
(2)若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问：应该怎样进货，才能使总利润最大？最大利润是多少？(利润=售价一进价)

答案： 【解析】：
(1)设购进甲商品$x$件，则购进乙商品$(100 - x)$件。
根据恰好用去$2700$元，可列方程$15x + 35(100 - x)=2700$，
去括号得$15x+3500 - 35x = 2700$，
移项得$15x-35x=2700 - 3500$，
合并同类项得$-20x=-800$，
系数化为$1$得$x = 40$，
则$100 - x=100 - 40 = 60$（件）。
(2)设购进甲商品$y$件，则购进乙商品$(100 - y)$件。
根据用不超过$3100$元购进商品，可得$15y + 35(100 - y)\leq3100$，
去括号得$15y+3500 - 35y\leq3100$，
移项得$15y-35y\leq3100 - 3500$，
合并同类项得$-20y\leq - 400$，
系数化为$1$得$y\geq20$。
根据全部售出后获利不少于$890$元，可得$(20 - 15)y+(45 - 35)(100 - y)\geq890$，
去括号得$5y + 1000-10y\geq890$，
移项得$5y-10y\geq890 - 1000$，
合并同类项得$-5y\geq - 110$，
系数化为$1$得$y\leq22$。
所以$20\leq y\leq22$，因为$y$为整数，所以$y = 20$，$21$，$22$。
设总利润为$W$元，$W=(20 - 15)y+(45 - 35)(100 - y)=5y + 1000-10y=-5y + 1000$，
因为$-5\lt0$，所以$W$随$y$的增大而减小，
当$y = 20$时，$W$有最大值，$W=-5\times20 + 1000=900$，此时$100 - y = 80$。
【答案】：
(1)购进甲商品$40$件，乙商品$60$件；
(2)购进甲商品$20$件，乙商品$80$件时，总利润最大，最大利润是$900$元。