《2025年新课堂假期生活暑假生活北京教育出版社七年级数学华师大版》

1. 一种灭虫药粉30千克,含药率为15%,现在要用含药率较高的同种灭虫药粉50千克和它混合,使混合后的含药率大于20%且小于35%,则所用药粉含药率的范围是多少?

答案： 【解析】：设所用药粉的含药率为$x$。
混合前$30$千克药粉中含药的质量为$30\times15\%$千克，$50$千克药粉中含药的质量为$50x$千克，混合后药粉总质量为$30 + 50=80$千克，含药的质量为$(30\times15\% + 50x)$千克。
因为混合后的含药率大于$20\%$且小于$35\%$，所以可列不等式组：
$\begin{cases}30\times15\%+50x＞80\times20\% \\30\times15\%+50x＜80\times35\% \end{cases}$
解第一个不等式：
$30\times15\%+50x＞80\times20\%$
$4.5 + 50x＞16$
$50x＞16 - 4.5$
$50x＞11.5$
$x＞11.5\div50$
$x ＞ 0.23$，即$x＞23\%$。
解第二个不等式：
$30\times15\%+50x＜80\times35\%$
$4.5+50x＜28$
$50x＜28 - 4.5$
$50x＜23.5$
$x＜23.5\div50$
$x＜0.47$，即$x ＜ 47\%$。
所以$23\%＜x＜47\%$。
【答案】：$23\%＜$含药率$＜47\%$

2. 某农场300名职工耕种51公顷土地,分别种植水稻、蔬菜和棉花,种植这些农作物每公顷所需职工人数如表1所示:

设水稻、蔬菜、棉花的种植面积分别为$x$公顷、$y$公顷、$z$公顷.
(1) 用含$x$的式子分别表示$y$和$z$.
$y=$$\frac{x + 45}{3}$，$z=$$36-\frac{4x}{3}$.
(2) 若这些农作物的预计产值如表2所示,且总产值$P$满足关系式$360\leqslant P\leqslant 370$(其中$x$、$y$、$z$均为整数),这个农场应怎样安排水稻、蔬菜、棉花的种植面积?
方案一：种植水稻15公顷，蔬菜20公顷，棉花16公顷；方案二：种植水稻18公顷，蔬菜21公顷，棉花12公顷.

答案： 【解析】：
(1) 已知农场有$300$名职工耕种$51$公顷土地，水稻、蔬菜、棉花的种植面积分别为$x$公顷、$y$公顷、$z$公顷。
根据种植面积总和可得$x + y + z = 51$ ①；
根据所需职工人数总和可得$4x + 8y + 5z = 300$ ②。
由①得$z = 51 - x - y$，将其代入②可得：
$4x + 8y + 5(51 - x - y)=300$，
$4x + 8y + 255 - 5x - 5y = 300$，
$3y - x = 45$，
$y=\frac{x + 45}{3}$。
把$y=\frac{x + 45}{3}$代入①得：
$x+\frac{x + 45}{3}+z = 51$，
$3x+x + 45 + 3z = 153$，
$4x+3z = 108$，
$z=\frac{108 - 4x}{3}=36-\frac{4x}{3}$。
(2) 已知每公顷水稻预计产值$4.5$万元，每公顷蔬菜预计产值$9$万元，每公顷棉花预计产值$7.5$万元，则总产值$P = 4.5x + 9y + 7.5z$。
把$y=\frac{x + 45}{3}$，$z = 36-\frac{4x}{3}$代入$P$可得：
$P = 4.5x + 9\times\frac{x + 45}{3}+7.5\times(36-\frac{4x}{3})$
$=4.5x + 3(x + 45)+7.5\times36-10x$
$=4.5x + 3x + 135 + 270 - 10x$
$=-2.5x + 405$。
因为$360\leqslant P\leqslant 370$，所以$360\leqslant - 2.5x + 405\leqslant 370$。
先解$-2.5x + 405\geqslant360$，
$-2.5x\geqslant360 - 405$，
$-2.5x\geqslant - 45$，
$x\leqslant18$。
再解$-2.5x + 405\leqslant370$，
$-2.5x\leqslant370 - 405$，
$-2.5x\leqslant - 35$，
$x\geqslant14$。
所以$14\leqslant x\leqslant18$。
又因为$x$，$y=\frac{x + 45}{3}$，$z = 36-\frac{4x}{3}$均为整数，
当$x = 15$时，$y=\frac{15 + 45}{3}=20$，$z = 36-\frac{4\times15}{3}=36 - 20 = 16$；
当$x = 18$时，$y=\frac{18+45}{3}=21$，$z = 36-\frac{4\times18}{3}=36 - 24 = 12$。
【答案】：
(1) $y=\frac{x + 45}{3}$，$z = 36-\frac{4x}{3}$；
(2) 方案一：种植水稻$15$公顷，蔬菜$20$公顷，棉花$16$公顷；方案二：种植水稻$18$公顷，蔬菜$21$公顷，棉花$12$公顷。