《2025年新课堂假期生活暑假生活北京教育出版社七年级数学华师大版》

1. 如果 $ a ( x - 1 ) ＞ x + 1 - 2 a $ 的解集是 $ x ＜ - 1 $,求 $ a $ 的取值范围.

答案： 【解析】：
首先对不等式$a(x - 1)\gt x + 1 - 2a$进行求解。
展开括号得$ax - a\gt x + 1 - 2a$。
移项可得$ax - x\gt 1 - 2a + a$。
合并同类项得$(a - 1)x\gt 1 - a$。
因为已知该不等式的解集是$x\lt - 1$，不等号方向发生了改变，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，所以$a - 1\lt 0$。
解$a - 1\lt 0$，可得$a\lt 1$。
【答案】：$a\lt 1$

2. 有人问一位老师,他所教的班有多少学生,老师说:“现在班中有一半的学生正在做数学作业,四分之一的学生在做语文作业,七分之一的学生在做英语作业,还剩不足 6 位学生在操场踢足球.”试问这个班共有多少学生?

答案： 【解析】：设这个班共有$x$位学生。因为做数学作业的学生有$\frac{1}{2}x$位，做语文作业的学生有$\frac{1}{4}x$位，做英语作业的学生有$\frac{1}{7}x$位，所以在操场踢足球的学生有$x-\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x-\frac{1}{7}x=\frac{28x - 14x-7x - 4x}{28}=\frac{3}{28}x$位。
已知还剩不足$6$位学生在操场踢足球，所以$0\lt\frac{3}{28}x\lt6$，解不等式$0\lt\frac{3}{28}x$得$x\gt0$，解不等式$\frac{3}{28}x\lt6$，两边同时乘以$\frac{28}{3}$，得到$x\lt56$。
又因为$x$是$2$、$4$、$7$的公倍数，$2$、$4$、$7$的最小公倍数是$28$，在$0\lt x\lt56$这个范围内，$2$、$4$、$7$的公倍数只有$28$，所以$x = 28$。
【答案】：$28$

3. 由于酒泉独特的气候资源,生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存,品质、色泽、风味明显优于其他洋葱产区,因而受到国内外客商青睐. 现欲将一批洋葱运往外地销售,若用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车载满洋葱一次可运走 10 吨;用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车载满洋葱一次可运走 11 吨. 现有洋葱 31 吨,计划同时租用 A 型车 $ a $ 辆,B 型车 $ b $ 辆,一次运完,且恰好每辆车都载满洋葱. 根据以上信息,解答下列问题:
(1)1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨?
(2)请你帮该物流公司设计租车方案.
(3)若 1 辆 A 型车需租金 100 元/次,1 辆 B 型车需租金 120 元/次. 请选出费用最少的租车方案,并求出最少租车费.

答案： 【解析】：
1. 对于（1）：
设$1$辆$A$型车载满洋葱一次可运送$x$吨，$1$辆$B$型车载满洋葱一次可运送$y$吨。
根据“用$2$辆$A$型车和$1$辆$B$型车载满洋葱一次可运走$10$吨；用$1$辆$A$型车和$2$辆$B$型车载满洋葱一次可运走$11$吨”，可列方程组$\begin{cases}2x + y=10\\x + 2y=11\end{cases}$。
由$2x + y = 10$可得$y = 10 - 2x$，将其代入$x + 2y = 11$中，得到$x+2(10 - 2x)=11$。
展开式子得$x + 20-4x = 11$。
移项合并同类项得$-3x=11 - 20=-9$，解得$x = 3$。
把$x = 3$代入$y = 10 - 2x$，得$y = 10-2\times3 = 4$。
2. 对于（2）：
已知现有洋葱$31$吨，计划同时租用$A$型车$a$辆，$B$型车$b$辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱，可列方程$3a + 4b = 31$。
变形得$a=\frac{31 - 4b}{3}$。
因为$a$，$b$均为正整数，所以$31-4b$是$3$的倍数。
当$b = 1$时，$a=\frac{31 - 4\times1}{3}=\frac{27}{3}=9$。
当$b = 4$时，$a=\frac{31 - 4\times4}{3}=\frac{31 - 16}{3}=5$。
当$b = 7$时，$a=\frac{31 - 4\times7}{3}=\frac{31 - 28}{3}=1$。
所以租车方案有：
方案一：$A$型车$9$辆，$B$型车$1$辆；
方案二：$A$型车$5$辆，$B$型车$4$辆；
方案三：$A$型车$1$辆，$B$型车$7$辆。
3. 对于（3）：
设租车费用为$W$元，$W = 100a+120b$。
方案一：当$a = 9$，$b = 1$时，$W_1=100\times9 + 120\times1=900 + 120 = 1020$元。
方案二：当$a = 5$，$b = 4$时，$W_2=100\times5+120\times4=500 + 480 = 980$元。
方案三：当$a = 1$，$b = 7$时，$W_3=100\times1+120\times7=100 + 840 = 940$元。
因为$940\lt980\lt1020$，所以费用最少的租车方案是方案三，即租用$A$型车$1$辆，$B$型车$7$辆，最少租车费是$940$元。
【答案】：
（1）$1$辆$A$型车载满洋葱一次可运送$3$吨，$1$辆$B$型车载满洋葱一次可运送$4$吨。
（2）租车方案有：方案一：$A$型车$9$辆，$B$型车$1$辆；方案二：$A$型车$5$辆，$B$型车$4$辆；方案三：$A$型车$1$辆，$B$型车$7$辆。
（3）费用最少的租车方案是租用$A$型车$1$辆，$B$型车$7$辆，最少租车费是$940$元。