《2025年新课堂假期生活暑假生活北京教育出版社七年级数学华师大版》

1. 汽车在上坡时速度为28千米/时，下坡时速度为42千米/时，从甲地到乙地用了4小时15分钟，返回时用了4小时40分钟，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？

答案： 【解析】：1. 首先设从甲地到乙地上坡路是$x$千米，下坡路是$y$千米。
已知$1$小时$ = 60$分钟，则$4$小时$15$分钟$=4+\frac{15}{60}=4 + 0.25 = 4.25$小时，$4$小时$40$分钟$=4+\frac{40}{60}=4+\frac{2}{3}=\frac{12 + 2}{3}=\frac{14}{3}$小时。
根据时间$=$路程$\div$速度，从甲地到乙地，上坡时间为$\frac{x}{28}$小时，下坡时间为$\frac{y}{42}$小时，可列方程$\frac{x}{28}+\frac{y}{42}=4.25$。
从乙地返回甲地时，原来的上坡路变为下坡路，原来的下坡路变为上坡路，那么上坡时间为$\frac{y}{28}$小时，下坡时间为$\frac{x}{42}$小时，可列方程$\frac{y}{28}+\frac{x}{42}=\frac{14}{3}$。
对$\frac{x}{28}+\frac{y}{42}=4.25$进行化简：
方程两边同时乘以$84$（$28$和$42$的最小公倍数），得到$84\times\frac{x}{28}+84\times\frac{y}{42}=4.25\times84$，即$3x + 2y=357$ ①。
对$\frac{y}{28}+\frac{x}{42}=\frac{14}{3}$进行化简：
方程两边同时乘以$84$，得到$84\times\frac{y}{28}+84\times\frac{x}{42}=\frac{14}{3}\times84$，即$3y + 2x = 392$ ②。
由①式可得$y=\frac{357 - 3x}{2}$，将其代入②式：
$3\times\frac{357 - 3x}{2}+2x = 392$。
方程两边同时乘以$2$去分母得：$3(357 - 3x)+4x = 784$。
去括号得：$1071-9x + 4x = 784$。
合并同类项得：$1071-5x = 784$。
移项得：$-5x = 784 - 1071$，即$-5x=-287$。
解得$x = 57.4$。
将$x = 57.4$代入①式：
$3\times57.4+2y = 357$。
$172.2+2y = 357$。
移项得$2y = 357 - 172.2$，即$2y = 184.8$。
解得$y = 92.4$。
【答案】：1. 从甲地到乙地上坡路是$57.4$千米，下坡路是$92.4$千米。

2. 某班同学去18千米外的北山郊游.只有一辆汽车，需分甲、乙两组，甲组先乘车、乙组先步行.车行至$A$处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时到达北山站.已知汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求$A$点距北山站的距离.

答案： 【解析】：设$A$点距北山站的距离为$x$千米，则甲组乘车的路程为$(18 - x)$千米。
甲组乘车的时间为$\frac{18 - x}{60}$小时，在这段时间内乙组步行的路程为$4\times\frac{18 - x}{60}=\frac{18 - x}{15}$千米。
此时汽车与乙组的距离为$(18 - x)-\frac{18 - x}{15}=\frac{14(18 - x)}{15}$千米。
汽车返回与乙组相遇的时间为$\frac{\frac{14(18 - x)}{15}}{60 + 4}=\frac{14(18 - x)}{15\times64}$小时。
相遇时乙组又步行了$4\times\frac{14(18 - x)}{15\times64}=\frac{14(18 - x)}{240}$千米，那么乙组一共步行的路程为$\frac{18 - x}{15}+\frac{14(18 - x)}{240}=\frac{16(18 - x)+14(18 - x)}{240}=\frac{30(18 - x)}{240}=\frac{18 - x}{8}$千米。
乙组乘车的路程为$18-\frac{18 - x}{8}=\frac{144-(18 - x)}{8}=\frac{126 + x}{8}$千米。
因为两组同时到达北山站，根据时间相等可列方程：$\frac{x}{4}=\frac{\frac{18 - x}{15}+\frac{14(18 - x)}{15\times64}+\frac{126 + x}{8\times60}}{1}$，也可根据时间关系列方程$\frac{x}{4}=\frac{18 - x}{60}+\frac{18 - x-\frac{18 - x}{15}}{60 + 4}+\frac{18 - (\frac{18 - x}{15}+\frac{14(18 - x)}{15\times64})}{60}$，化简得$\frac{x}{4}=\frac{18 - x}{60}+\frac{14(18 - x)}{15\times64}+\frac{18-\frac{18 - x}{8}}{60}$，进一步化简：
方程两边同时乘以$240$得：$60x = 4(18 - x)+\frac{14(18 - x)}{4}+4(18-\frac{18 - x}{8})$。
展开括号得：$60x = 72-4x+\frac{252 - 14x}{4}+72-\frac{18 - x}{2}$。
再乘以$4$去分母得：$240x = 288-16x + 252-14x+288-(36 - 2x)$。
继续展开得：$240x = 288-16x + 252-14x+288 - 36 + 2x$。
合并同类项得：$240x=( - 16x-14x + 2x)+(288 + 252+288 - 36)$，即$240x=-28x + 792$。
移项得：$240x + 28x = 792$，$268x = 792$，解得$x = 2$。
【答案】：$2$千米

3. 小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，需要长为$0.8m$的钢管100根，长为$2.5m$的钢管32根，并要求这些用料粗细相同且不能是焊接而成的.现钢材市场的钢管每根长为$6m$.
(1)试问一根长为$6m$的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)：
方法①：当只裁剪长为$0.8m$的用料时，最多可剪7根.
方法②：当先剪下1根$2.5m$的用料时，余下部分最多能剪$0.8m$长的用料4根.
方法③：当先剪下2根$2.5m$的用料时，余下部分最多能剪$0.8m$长的用料1根.
(2)用(1)中的方法②和方法③各裁剪多少根$6m$长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？小明是这样考虑的：设用(1)中方法②裁剪$x$根$6m$长的钢管，用方法③裁剪$y$根$6m$长的钢管.由题意，可列方程组，进而得到问题的解决，请帮助小明把过程补充完整.
解：设用(1)中的方法②裁剪$x$根$6m$长的钢管，用方法③裁剪$y$根$6m$长的钢管，根据题意，得
$\begin{cases}4x + y = 100\\x + 2y = 32\end{cases}$

答案： 【解析】：
(1)
方法①：因为$6\div0.8 = 7.5$，由于钢管的根数只能为整数，所以当只裁剪长为$0.8m$的用料时，最多可剪$7$根。
方法②：当先剪下$1$根$2.5m$的用料时，余下部分为$6 - 2.5 = 3.5m$，$3.5\div0.8 = 4.375$，所以余下部分最多能剪$0.8m$长的用料$4$根。
方法③：当先剪下$2$根$2.5m$的用料时，余下部分为$6 - 2\times2.5 = 6 - 5 = 1m$，$1\div0.8 = 1.25$，所以余下部分最多能剪$0.8m$长的用料$1$根。
(2)
设用
(1)中的方法②裁剪$x$根$6m$长的钢管，用方法③裁剪$y$根$6m$长的钢管。
方法②中每根$6m$长的钢管可剪出$1$根$2.5m$的钢管和$4$根$0.8m$的钢管；方法③中每根$6m$长的钢管可剪出$2$根$2.5m$的钢管和$1$根$0.8m$的钢管。
已知需要长为$0.8m$的钢管$100$根，长为$2.5m$的钢管$32$根，则可列方程组$\begin{cases}4x + y = 100\\x + 2y = 32\end{cases}$。
【答案】：
(1)方法①：$7$；方法②：$4$；方法③：$1$；
(2)$\begin{cases}4x + y = 100\\x + 2y = 32\end{cases}$