《2025年新课堂假期生活暑假生活北京教育出版社七年级数学华师大版》

五、解答题
善于思考的小红在解方程组$\begin{cases}2x + 5y = 3, &①\\4x + 11y = 5 &②\end{cases}$时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形得$4x + 10y + y = 5$，即$2(2x + 5y) + y = 5$， ③
把①代入③得$2×3 + y = 5$，
解得$y = - 1$，把$y = - 1$代入①得$x = 4$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = - 1.\end{cases}$
请你运用以上方法解决下列问题：
(1) 模仿小红的方法解方程组$\begin{cases}x + 3y = 2, &①\\2x + 7y = 6; &②\end{cases}$
解：将方程②变形得$2x + 6y + y = 6$，即$2(x + 3y) + y = 6$， ③
把①代入③得$2×2 + y = 6$，
解得$y = 2$，把$y = 2$代入①得$x + 3×2 = 2$，解得$x = - 4$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = -4,\\y = 2.\end{cases}$
(2) 已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}6x^2 - 2xy + 3y^2 = 25, &①\\4x^2 + xy + 2y^2 = 10, &②\end{cases}$求$2x^2 + y^2 + xy$的值.
解：由①可得$3(2x^2 + y^2) - 2xy = 25$ ③；由②可得$2(2x^2 + y^2) + xy = 10$ ④.
设$2x^2 + y^2 = m$，$xy = n$，则方程组可化为$\begin{cases}3m - 2n = 25,\\2m + n = 10,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = \frac{45}{7},\\n = -\frac{20}{7},\end{cases}$所以$2x^2 + y^2 + xy = m + n = \frac{25}{7}$.

答案： 【解析】：
(1) 首先对②进行变形，将方程②变形为$2x + 6y + y = 6$，也就是$2(x + 3y)+y = 6$ ③。然后把①代入③，得到$2×2 + y = 6$，即$4 + y = 6$，解得$y = 2$。最后把$y = 2$代入①，可得$x+3×2 = 2$，即$x + 6 = 2$，解得$x=-4$。
(2) 先对①进行变形，由①可得$3(2x^{2}+y^{2})-2xy = 25$ ③；对②进行变形，由②可得$2(2x^{2}+y^{2})+xy = 10$ ④。设$2x^{2}+y^{2}=m$，$xy = n$，则方程组可化为$\begin{cases}3m - 2n = 25&⑤\\2m + n = 10&⑥\end{cases}$。由⑥可得$n = 10 - 2m$ ⑦，把⑦代入⑤得$3m-2(10 - 2m)=25$，展开括号得$3m-20 + 4m = 25$，移项合并同类项得$7m = 45$，解得$m=\frac{45}{7}$。把$m=\frac{45}{7}$代入⑦得$n = 10 - 2×\frac{45}{7}=10-\frac{90}{7}=-\frac{20}{7}$。所以$2x^{2}+y^{2}+xy=m + n=\frac{45}{7}-\frac{20}{7}=\frac{25}{7}$。
【答案】：
(1)$\begin{cases}x = - 4\\y = 2\end{cases}$
(2)$\frac{25}{7}$

印刷体字母趣题
把图中的形状剪下来，或者在头脑里重新安排一下. 有的可能需要旋转、翻转或平移，把它们构成英文字母中的一个大写字母. 祝你成功！

答案：