《2025年新课堂假期生活暑假生活北京教育出版社七年级数学华师大版》

6. 观察并探求下列问题，写出你所观察得到的结论.
(1) 如图甲，在$△ABC$中，$P$为$BC$上的一点，则$BP + PC$＜（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）$AB + AC$；
(2) 将(1)中点$P$移到$△ABC$内，如图乙，试比较$△BPC$的周长与$△ABC$的周长的大小，并说明理由；
$\triangle BPC$的周长$＜\triangle ABC$的周长
(3) 将(2)中点$P$变为两个点$P_{1}$、$P_{2}$，如图丙，试比较四边形$BP_{1}P_{2}C$的周长与$△ABC$的周长的大小，并说明理由.
四边形$BP_{1}P_{2}C$的周长$＜\triangle ABC$的周长

答案： 【解析】：
-
(1) 小题：根据三角形两边之和大于第三边，在$\triangle ABC$中，$AB + AC＞BC$，即$AB + AC＞BP + PC$。
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(2) 小题：
延长$BP$交$AC$于点$M$。
在$\triangle ABM$中，$AB + AM＞BP + PM$ ①；在$\triangle PMC$中，$PM + MC＞PC$ ②。
① + ②得：$AB + AM + PM + MC＞BP + PM + PC$，即$AB + AC＞BP + PC$。
所以$\triangle BPC$的周长$=BP + PC + BC$，$\triangle ABC$的周长$=AB + AC + BC$，可得$\triangle BPC$的周长$＜\triangle ABC$的周长。
-
(3) 小题：
分别延长$BP_{1}$、$CP_{2}$交于点$M$。
由
(2)知$\triangle BMC$的周长$＜\triangle ABC$的周长。
而四边形$BP_{1}P_{2}C$的周长$=BP_{1} + P_{1}P_{2} + P_{2}C + BC$，$\triangle BMC$的周长$=BM + MC + BC$，且$BM = BP_{1} + P_{1}M$，$MC = P_{2}M + P_{2}C$，$P_{1}M + P_{2}M＞P_{1}P_{2}$，所以四边形$BP_{1}P_{2}C$的周长$＜\triangle BMC$的周长。
因此四边形$BP_{1}P_{2}C$的周长$＜\triangle ABC$的周长。
【答案】：
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(1) $＜$
-
(2) $\triangle BPC$的周长$＜\triangle ABC$的周长
-
(3) 四边形$BP_{1}P_{2}C$的周长$＜\triangle ABC$的周长

读一读并想一想
在矩形$ABCD(AB ＜ BC)$中，如果$\frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} ≈ 0.618$，那么称这个矩形为黄金矩形. 黄金矩形给人以美感，备受人们欢迎，在黄金矩形$ABCD$内作正方形$CDEF$，得到一个小矩形$ABFE$. 请问：矩形$ABFE$是否也是黄金矩形？说明你的结论.

矩形$ABFE$是黄金矩形。

答案： 【解析】：
设$BC = a$，因为矩形$ABCD$是黄金矩形，所以$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则$AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2}a$。
由于四边形$CDEF$是正方形，所以$DE = DC = AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2}a$，那么$AE = AD - DE$，又因为$AD = BC = a$，所以$AE = a-\frac{\sqrt{5}-1}{2}a=\frac{2a - (\sqrt{5}-1)a}{2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}a$。
则$\frac{AE}{AB}=\frac{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}a}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}$，分子分母同时乘以$2$得$\frac{(3 - \sqrt{5})a}{(\sqrt{5}-1)a}$，约分后$\frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$，分子分母同时乘以$\sqrt{5}+1$进行化简：
$\begin{aligned}\frac{(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}&=\frac{3\sqrt{5}+3 - 5 - \sqrt{5}}{5 - 1}\\&=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}\\&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{aligned}$
【答案】：矩形$ABFE$是黄金矩形。