《2025年新课堂假期生活暑假生活北京教育出版社七年级数学华师大版》

4. 某地为促进淡水养殖业的发展,将淡水鱼的价格控制在每千克8元和14元之间,决定对淡水鱼提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为$x$元/千克,政府补贴为$t$元/千克,据调查,要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等,$t$与$x$应满足等式:
$100(x+t-8)=270-3x$.
为使市场价格不高于10元/千克,政府补贴至少应为多少?

答案： 【解析】：首先对等式$100(x + t - 8)=270 - 3x$进行化简，展开括号可得$100x+100t - 800 = 270 - 3x$，移项得到$100x+3x=270 + 800 - 100t$，合并同类项得$103x=1070 - 100t$，则$x=\frac{1070 - 100t}{103}$。
因为市场价格$x$不高于$10$元/千克，即$x\leqslant10$，所以$\frac{1070 - 100t}{103}\leqslant10$。
不等式两边同时乘以$103$得：$1070 - 100t\leqslant1030$，移项可得$-100t\leqslant1030 - 1070$，即$-100t\leqslant - 40$，不等式两边同时除以$-100$，不等号方向改变，解得$t\geqslant0.4$。
【答案】：$0.4$元/千克

谁占了便宜
有一个人开了一家炒货店,专卖五香椒盐花生米.一天,他的天平秤出了毛病,两臂不等长.店主就想出了个称东西的办法,他把一半花生米放在右盘里,在左盘里加添砝码,天平平衡以后,称出了一个斤两数.再把另一半花生米放在左盘里,而在右盘里加添砝码,也称出一个斤两数.然后他把两个数字相加,即作为花生米的正确质量,向顾客收钱.通过这种办法,店主认为他已经做到“公平交易,老少无欺”了.
另一人仔细想了想,提出了一种新办法.他准备买两斤花生米,先把一斤重的砝码放在右盘里,而在左盘里不断加添花生米,使天平平衡.再把一斤重的砝码放在左盘里,而在右盘里不断加添花生米,也使天平平衡.然后把两次称出来的花生米一起放进口袋,向店主付了钱,扬长而去.
现在请你评一评,用这两种办法,究竟是否做到了公平交易? 假使做不到的话,那么请问:究竟哪一种办法对店主有利? 哪一种办法对顾客有利?

答案： 设天平左、右两臂的长度分别是 $ a $ 和 $ b $，题目已经明确告诉我们 $ a \neq b $。
按照店主的称法（用砝码去称花生米），先把一斤花生米放在右盘里，则根据天平平衡的条件，左盘里砝码的质量必定是 $ \frac{b}{a} $ 斤，这是 $ 1 \times b = a \times \frac{b}{a} $ 的缘故。
同理可知，他把一斤花生米放在左盘里，则右盘砝码的质量必定是 $ \frac{a}{b} $ 斤，所以砝码所表示的斤两数是 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $。
但是我们根据不等式原理，当 $ a $、$ b $ 不相等时，必有 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} ＞ 2 $。
这意味着，砝码所表示的质量超过店主实际出售的花生米质量，所以这种称法对店主有利。
反过来，按照另一种称法（用花生米去迁就砝码），如先把一斤重的砝码放在右盘，这时候与之平衡的花生米的质量必定是 $ \frac{b}{a} $ 斤，再把一斤重的砝码放在左盘里，则与之平衡的花生米的质量必定是 $ \frac{a}{b} $ 斤，同样由于 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} ＞ 2 $，所以店主实际售给人家的花生米不止 2 斤重，因此这种称法对顾客有利。