《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

1. 如图13，点$B$，$C$分别在直线$y=2x$和直线$y=kx$上，点$A$，$D$分别是$x$轴上的两点.已知四边形$ABCD$是正方形，求$k$的值.

答案： 【解析】：
设点$A$的坐标为$(a,0)$（$a\gt0$）。
因为点$B$在直线$y = 2x$上，且$BA\perp x$轴，所以点$B$的坐标为$(a,2a)$。
由于四边形$ABCD$是正方形，则$AB = BC$，$AB// CD$，$BC// AD$，所以点$C$的纵坐标为$2a$。
又因为$BC = AB = 2a$，所以点$C$的横坐标为$a + 2a=3a$，即点$C$的坐标为$(3a,2a)$。
把$C(3a,2a)$代入$y = kx$中，得$2a=k\times3a$，因为$a\neq0$，两边同时除以$3a$，可得$k=\frac{2}{3}$。
【答案】：$\frac{2}{3}$

2. 直线$y=\frac{2}{3}x-2$分别交$x$轴、$y$轴于$A$，$B$两点，点$O$为原点.
(1)求$\triangle AOB$的面积；
(2)过$\triangle AOB$的顶点能不能画出一条直线把$\triangle AOB$分成面积相等的两部分？若能，可以画出几条？写出这样的直线的函数解析式.

答案： 【解析】：
(1)
对于直线$y = \frac{2}{3}x - 2$，
当$y = 0$时，$0=\frac{2}{3}x - 2$，
$\frac{2}{3}x=2$，解得$x = 3$，所以$A(3,0)$，则$OA = 3$。
当$x = 0$时，$y=-2$，所以$B(0,-2)$，则$OB = 2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，对于$\triangle AOB$，以$OA$为底，$OB$为高，可得$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times OA\times OB=\frac{1}{2}\times3\times2 = 3$。
(2)
能画出$3$条。
①当直线过$O$点和$AB$中点时：
设$AB$中点为$D$，已知$A(3,0)$，$B(0,-2)$，根据中点坐标公式$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，可得$D$点坐标为$(\frac{3 + 0}{2},\frac{0-2}{2})$，即$D(\frac{3}{2},-1)$。
设直线$OD$的解析式为$y=kx$，把$D(\frac{3}{2},-1)$代入$y = kx$得$-1=k\times\frac{3}{2}$，解得$k=-\frac{2}{3}$，所以直线$OD$的解析式为$y = -\frac{2}{3}x$。
②当直线过$A$点和$OB$中点时：
$OB$中点$E$的坐标为$(0,-1)$，
设直线$AE$的解析式为$y=mx + n$，把$A(3,0)$，$E(0,-1)$代入$\begin{cases}3m + n=0\\n=-1\end{cases}$，
将$n = - 1$代入$3m + n=0$得$3m-1 = 0$，$3m=1$，解得$m=\frac{1}{3}$，
所以直线$AE$的解析式为$y=\frac{1}{3}x - 1$。
③当直线过$B$点和$OA$中点时：
$OA$中点$F$的坐标为$(\frac{3}{2},0)$，
设直线$BF$的解析式为$y=px+q$，把$B(0,-2)$，$F(\frac{3}{2},0)$代入$\begin{cases}q=-2\\\frac{3}{2}p+q = 0\end{cases}$，
将$q=-2$代入$\frac{3}{2}p+q = 0$得$\frac{3}{2}p-2 = 0$，$\frac{3}{2}p=2$，解得$p=\frac{4}{3}$，
所以直线$BF$的解析式为$y=\frac{4}{3}x - 2$。
【答案】：
(1)$3$；
(2)能，$3$条，$y = -\frac{2}{3}x$，$y=\frac{1}{3}x - 1$，$y=\frac{4}{3}x - 2$