《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

2. 如图8，铁路上$A$，$B$两点相距25km，$C$，$D$为两村庄，$DA⊥AB$于点$A$，$CB⊥AB$于点$B$，已知$DA = 15km$，$CB = 10km$。现在要在铁路线$AB$上建一个土特产收购站$E$，使得$C$，$D$两村到$E$站的距离相等，则$E$站应建在离$B$点多远处？

答案： 【解析】：
设$BE = x$千米，则$AE=(25 - x)$千米。
因为$DA\perp AB$，$CB\perp AB$，所以$\triangle DAE$和$\triangle EBC$都是直角三角形。
根据勾股定理，在$\triangle DAE$中，$DE^{2}=DA^{2}+AE^{2}=15^{2}+(25 - x)^{2}$；在$\triangle EBC$中，$CE^{2}=CB^{2}+BE^{2}=10^{2}+x^{2}$。
因为$C$，$D$两村到$E$站的距离相等，即$DE = CE$，所以$DE^{2}=CE^{2}$，则$15^{2}+(25 - x)^{2}=10^{2}+x^{2}$。
展开式子得：$225 + 625 - 50x+x^{2}=100 + x^{2}$。
移项可得：$x^{2}-x^{2}-50x=100 - 225 - 625$。
合并同类项得：$-50x=-750$。
解得$x = 15$。
【答案】：$15$千米

3. 如图9，在矩形纸片$ABCD$中，$AB = 8$，$BC = 6$，点$E$在边$AB$上，将$△DAE$沿$DE$折叠，使点$A$落在对角线$BD$上的点$F$处，求$AE$的长。

答案： 【解析】：
1. 首先，根据矩形的性质求$BD$的长度：
因为四边形$ABCD$是矩形，$AB = 8$，$BC = 6$，$\angle A=90^{\circ}$，由勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}$（在矩形中$AD = BC = 6$），则$BD=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$。
2. 然后，根据折叠的性质：
由折叠可知$DF = AD = 6$，$EF = AE$，$\angle DFE=\angle A = 90^{\circ}$，设$AE=x$，则$EF=x$，$BE=8 - x$。
又因为$BF=BD - DF$，所以$BF = 10 - 6 = 4$。
3. 最后，在$Rt\triangle BEF$中，根据勾股定理列方程：
在$Rt\triangle BEF$中，由勾股定理$BE^{2}=EF^{2}+BF^{2}$，即$(8 - x)^{2}=x^{2}+4^{2}$。
展开式子得$64-16x+x^{2}=x^{2}+16$。
移项可得$64 - 16=x^{2}-x^{2}+16x$。
合并同类项得$16x = 48$，解得$x = 3$。
【答案】：$3$