《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

3. 如图17，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle BAC$，$\angle ABC$的平分线交于点$D$，$DE \perp BC$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$，四边形$CFDE$是正方形吗？请说明理由.

答案： 【解析】：
过$D$作$DG \perp AB$于$G$。
因为$\angle C = 90^{\circ}$，$DE \perp BC$，$DF \perp AC$，所以四边形$CFDE$是矩形。
因为$AD$平分$\angle BAC$，$DF \perp AC$，$DG \perp AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DF = DG$。
同理，因为$BD$平分$\angle ABC$，$DE \perp BC$，$DG \perp AB$，所以$DE = DG$。
所以$DE = DF$。
因为矩形$CFDE$的邻边$DE = DF$，根据正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形，所以四边形$CFDE$是正方形。
【答案】：四边形$CFDE$是正方形。

4. 如图18，在$\square ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$E$，点$G$为$AD$的中点，连接$CG$，$CG$的延长线交$BA$的延长线于点$F$，连接$FD$.
(1)求证：$AB = AF$；
(2)若$AG = AB$，$\angle BCD = 120^{\circ}$，判断四边形$ACDF$的形状，并证明你的结论.

答案： （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD$。
所以$\angle FAG=\angle CDG$。
又因为点$G$为$AD$的中点，所以$AG = DG$。
在$\triangle AFG$和$\triangle DCG$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle FAG=\angle CDG\\AG = DG\\\angle AGF=\angle DGC\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle AFG\cong\triangle DCG$。
所以$AF = CD$。
又因为$AB = CD$，所以$AB = AF$。
（2）判断：四边形$ACDF$是矩形。
证明：因为$AF = CD$，$AF// CD$，所以四边形$ACDF$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\angle BAD=\angle BCD = 120^{\circ}$，则$\angle FAG = 60^{\circ}$。
又因为$AG = AB$，$AB = AF$，所以$AG = AF$。
所以$\triangle AFG$是等边三角形，所以$AG = FG$。
因为$\triangle AFG\cong\triangle DCG$，所以$FG = CG$。
又因为$AG = DG$，所以$AD = CF$。
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形$ACDF$是矩形。
综上，（1）得证$AB = AF$；（2）四边形$ACDF$是矩形。