《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

2. 阅读与思考:下面是一名同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形
我们知道,如图18,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA,的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形.

我查阅了许多资料,得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁(Varingnon,Pierre 1654—1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时,瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系.
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.证明如下:
如图19,连接AC,分别交EH,FG于点P,Q,过点D作DM⊥AC于点M,交HG于点N.
∵点H,G分别为AD,CD的中点,∴HG//AC,HG=$\frac{1}{2}$AC.(依据1)
∴$\frac{DN}{NM}=\frac{DG}{GC}$.∵DG=GC,∴DN=NM=$\frac{1}{2}$DM.
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形,∴HE//GF,即HP//GQ.
∵HG//AC,即HG//PQ,
∴四边形HPQG是平行四边形.(依据2)∴$S_{□HPQG}=HG\cdot MN=\frac{1}{2}HG\cdot DM$.
∵$S_{△ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DM=HG\cdot DM$,∴$S_{□HPQG}=\frac{1}{2}S_{△ADC}$.同理,…
任务:
(1)填空:材料中的依据1是指:______________________________,依据2是指:______________________________;
(2)请用刻度尺、三角板等工具,画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,使得四边形EFGH为矩形;(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)在图18中,分别连接AC,BD得到图20,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系,并证明你的结论.

答案： 【解析】：
(1) 依据1是三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）；依据2是两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(2) 画图步骤：
先用三角板画一条线段$AC$。
再用三角板过$A$，$C$分别作$AC$的垂线$l_1$，$l_2$。
在$l_1$上取一点$B$，$l_2$上取一点$D$，连接$AB$，$BC$，$CD$，$DA$，得到四边形$ABCD$。
分别取$AB$，$BC$，$CD$，$DA$的中点$E$，$F$，$G$，$H$，顺次连接$E$，$F$，$G$，$H$，得到瓦里尼翁平行四边形$EFGH$（此时$EFGH$为矩形，因为原四边形$ABCD$对角线$AC\perp BD$，根据三角形中位线定理可推出$EH\perp HG$，平行四边形$EFGH$有一个角是直角就是矩形）。
(3) 猜想：瓦里尼翁平行四边形$EFGH$的周长等于$AC + BD$。
证明：
因为点$E$，$H$分别是$AB$，$AD$的中点，根据三角形中位线定理，所以$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
同理，$FG// BD$，$FG = \frac{1}{2}BD$；$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$；$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$。
则四边形$EFGH$的周长为$EH + HG+FG + EF=\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC=AC + BD$。
【答案】：
(1) 三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）；两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(2) 按上述步骤画图（略）。
(3) 瓦里尼翁平行四边形$EFGH$的周长等于$AC + BD$，证明如上。