《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

4. 如图16，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°，延长CD到点E，连接AE，使得∠E=1/2∠C。
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)若DC=12，求AD的长。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$ABDE$是平行四边形
- **步骤一：计算$\angle ABD$和$\angle BDC$的度数关系**
已知$\angle ABC = 120^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle BCD$中，$\angle DBC=180^{\circ}-\angle C - \angle BDC=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。
又因为$DB$平分$\angle ADC$，所以$\angle ADB=\angle BDC = 30^{\circ}$。
已知$\angle E=\frac{1}{2}\angle C$，$\angle C = 60^{\circ}$，则$\angle E = 30^{\circ}$。
- **步骤二：计算$\angle ABD$的度数**
$\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$。
- **步骤三：根据平行四边形的判定定理证明**
因为$\angle ABD=\angle E = 30^{\circ}$，所以$AB// ED$（内错角相等，两直线平行）。
又因为$\angle ADB=\angle E = 30^{\circ}$，所以$AE// BD$（内错角相等，两直线平行）。
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$ABDE$是平行四边形。
### $(2)$ 求$AD$的长
- **步骤一：判断四边形$ABCD$的形状**
由$(1)$知$\angle ABD=\angle ADB = 30^{\circ}$，所以$AB = AD$。
因为$AB// ED$，即$AB// CD$，$\angle ABD=\angle BDC = 30^{\circ}$，所以四边形$ABCD$是等腰梯形（一组对边平行，另一组对边相等的梯形是等腰梯形）。
- **步骤二：计算$BC$的长度**
在$\triangle BCD$中，$\angle DBC = 90^{\circ}$，$\angle BDC = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，$BC=\frac{1}{2}DC$。
已知$DC = 12$，所以$BC = 6$。
- **步骤三：计算$AD$的长度**
因为四边形$ABCD$是等腰梯形，所以$AD = BC = 6$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{6}$

1. 如图17，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形。按此方法继续下去，若第一个正方形的边长为1，则第n个正方形的面积是__________。

答案： 【解析】：
设第$1$个正方形的面积为$S_1$，因为第一个正方形边长为$1$，根据正方形面积公式$S = a^2$（$a$为边长），所以$S_1 = 1^2 = 1$。
连接正方形各边中点得到的新正方形，其面积是原正方形面积的一半。
那么第$2$个正方形面积$S_2=\dfrac{1}{2}S_1=\dfrac{1}{2}\times1 = \dfrac{1}{2}$；
第$3$个正方形面积$S_3=\dfrac{1}{2}S_2=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$；
以此类推，第$n$个正方形面积$S_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n - 1}$。
【答案】：$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n - 1}$