《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

6. 如图16,在□ABCD中,AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E,F,AE和BF相交于点M.
(1)试证明:AE⊥BF;
(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以证明.

答案： （1）
证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$。
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle DAB+\angle ABC = 180^{\circ}$。
因为$AE$平分$\angle DAB$，$BF$平分$\angle ABC$，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle DAB$，$\angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC$。
则$\angle BAE+\angle ABF=\frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ABC)$。
把$\angle DAB+\angle ABC = 180^{\circ}$代入上式，得$\angle BAE+\angle ABF=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle ABM$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle BAE+\angle ABF+\angle AMB = 180^{\circ}$，所以$\angle AMB=180^{\circ}-(\angle BAE + \angle ABF)=90^{\circ}$。
所以$AE\perp BF$。
（2）
解：$DF = CE$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD = BC$。
所以$\angle DEA=\angle EAB$，又因为$\angle DAE=\angle EAB$，所以$\angle DEA=\angle DAE$，根据等角对等边，可得$DE = AD$。
同理，因为$AB// CD$，所以$\angle CFB=\angle FBA$，又因为$\angle CBF=\angle FBA$，所以$\angle CFB=\angle CBF$，根据等角对等边，可得$CF = BC$。
因为$AD = BC$，所以$DE = CF$。
则$DE - EF=CF - EF$（等式的性质）。
所以$DF = CE$。
综上，（1）已证$AE\perp BF$；（2）$DF = CE$。

1. 如图17,在四边形ABCD中,∠B=∠C,点E,F分别在边AB,BC上,AE=DF=DC.
(1)若∠DFC=70°,则∠C=______,∠B=______;
(2)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(3)若∠FDC=2∠EFB,猜想四边形AEFD的形状,并说明理由.

答案： 【解析】：
(1)
因为$DF = DC$，根据等腰三角形两底角相等，所以$\angle C=\angle DFC$。
已知$\angle DFC = 70^{\circ}$，则$\angle C = 70^{\circ}$。
又因为$\angle B=\angle C$，所以$\angle B = 70^{\circ}$。
(2)
因为$DF = DC$，所以$\angle C=\angle DFC$。
又因为$\angle B=\angle C$，所以$\angle B=\angle DFC$，根据同位角相等，两直线平行，可得$AB// DF$。
已知$AE = DF$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$AEFD$是平行四边形。
(3)
设$\angle EFB = x$，则$\angle FDC = 2x$。
因为$DF = DC$，所以$\angle C=\angle DFC=\frac{180^{\circ}-2x}{2}=90^{\circ}-x$。
因为$\angle B=\angle C$，在$\triangle BEF$中，$\angle BEF = 180^{\circ}-\angle B-\angle EFB=180^{\circ}-(90^{\circ}-x)-x = 90^{\circ}$。
由
(2)知四边形$AEFD$是平行四边形，又因为$\angle AEF = 90^{\circ}$，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AEFD$是矩形。
【答案】：
(1)$70^{\circ}$，$70^{\circ}$
(2)已证
(3)矩形，理由已述