《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

2. 化简：$\frac { 3 } { 5 } \sqrt { x y ^ { 5 } } \div \left( - \frac { 4 } { 1 5 } \sqrt { \frac { y } { x } } \right) \times \left( - \frac { 5 } { 6 } \sqrt { x ^ { 3 } y } \right)$.

答案： 【解析】：
本题可根据二次根式的乘除运算法则进行化简。
### 步骤一：根据二次根式的除法运算法则计算$\frac{3}{5}\sqrt{xy^5}\div(-\frac{4}{15}\sqrt{\frac{y}{x}})$
二次根式的除法运算法则为$\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq0,b\gt0$），则：
$\frac{3}{5}\sqrt{xy^5}\div(-\frac{4}{15}\sqrt{\frac{y}{x}})=\left[\frac{3}{5}\div(-\frac{4}{15})\right]\sqrt{xy^5\div\frac{y}{x}}$
先计算系数：$\frac{3}{5}\div(-\frac{4}{15})=\frac{3}{5}\times(-\frac{15}{4})=-\frac{9}{4}$
再计算根号内的式子：$xy^5\div\frac{y}{x}=xy^5\times\frac{x}{y}=x^2y^4$
所以$\frac{3}{5}\sqrt{xy^5}\div(-\frac{4}{15}\sqrt{\frac{y}{x}})=-\frac{9}{4}\sqrt{x^2y^4}=-\frac{9}{4}xy^2$
### 步骤二：计算$-\frac{9}{4}xy^2\times(-\frac{5}{6}\sqrt{x^3y})$
根据乘法运算法则，系数相乘，根式不变，则：
$-\frac{9}{4}xy^2\times(-\frac{5}{6}\sqrt{x^3y})=\left(-\frac{9}{4}\right)\times\left(-\frac{5}{6}\right)xy^2\sqrt{x^3y}=\frac{15}{8}xy^2\sqrt{x^3y}$
进一步化简$\sqrt{x^3y}$，$\sqrt{x^3y}=\sqrt{x^2\cdot xy}=x\sqrt{xy}$
所以$\frac{15}{8}xy^2\sqrt{x^3y}=\frac{15}{8}xy^2\cdot x\sqrt{xy}=\frac{15}{8}x^2y^2\sqrt{xy}$
【答案】：$\frac{15}{8}x^2y^2\sqrt{xy}$

3. 已知$a = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } - 1 }$，$b = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } + 1 }$，求$\sqrt { a b } \left( \sqrt { \frac { a } { b } } - \sqrt { \frac { b } { a } } \right)$的值.

答案： 【解析】：
本题可先对$a$、$b$进行分母有理化，再化简$\sqrt {ab}\left(\sqrt {\frac {a}{b}} - \sqrt {\frac {b}{a}}\right)$，最后将$a$、$b$的值代入化简后的式子求值。
- **步骤一：对$a$、$b$进行分母有理化**
分母有理化是指通过一些方法将分母中的根式去掉。
对$a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$，给分子分母同时乘以$\sqrt{2} + 1$，可得：
$a = \frac{1\times(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}=\frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}=\frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1}=\sqrt{2} + 1$
对$b = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$，给分子分母同时乘以$\sqrt{2} - 1$，可得：
$b = \frac{1\times(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}=\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}=\frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1}=\sqrt{2} - 1$
- **步骤二：化简$\sqrt {ab}\left(\sqrt {\frac {a}{b}} - \sqrt {\frac {b}{a}}\right)$**
根据乘法分配律$c(a - b)=ca - cb$，将$\sqrt {ab}$分别与括号内的两项相乘，可得：
$\sqrt {ab}\left(\sqrt {\frac {a}{b}} - \sqrt {\frac {b}{a}}\right)=\sqrt {ab}\times\sqrt {\frac {a}{b}} - \sqrt {ab}\times\sqrt {\frac {b}{a}}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{m}\times\sqrt{n}=\sqrt{mn}$，对上式进一步化简：
$\sqrt {ab}\times\sqrt {\frac {a}{b}} - \sqrt {ab}\times\sqrt {\frac {b}{a}}=\sqrt{ab\times\frac{a}{b}} - \sqrt{ab\times\frac{b}{a}}=\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$
因为$a=\sqrt{2} + 1\gt0$，$b=\sqrt{2} - 1\gt0$，所以$\sqrt{a^2}=a$，$\sqrt{b^2}=b$，则$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}=a - b$。
- **步骤三：代入$a$、$b$的值求值**
将$a = \sqrt{2} + 1$，$b = \sqrt{2} - 1$代入$a - b$，可得：
$a - b=(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1)=\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2$
【答案】：$2$

4. 若直角三角形的面积是$\sqrt { 1 8 } \mathrm { cm } ^ { 2 }$，一条直角边长为$\sqrt { 3 } \mathrm { cm }$，求另一条直角边的长.

答案： 【解析】：本题可根据直角三角形的面积公式来求解另一条直角边的长。
设另一条直角边的长为$x cm$。
根据直角三角形的面积公式$S = \dfrac{1}{2}ab$（其中$S$为面积，$a$、$b$ 为两条直角边），已知该直角三角形面积是$\sqrt{18}cm^2$，一条直角边长为$\sqrt{3}cm$，可列出方程$\dfrac{1}{2}\times\sqrt{3}x = \sqrt{18}$。
求解上述方程：
- 方程两边同时乘以$2$，得到$\sqrt{3}x = 2\sqrt{18}$。
- 再将方程两边同时除以$\sqrt{3}$，则$x=\dfrac{2\sqrt{18}}{\sqrt{3}}$。
- 根据二次根式的除法法则$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}(a\geqslant0,b＞0)$，对$\dfrac{2\sqrt{18}}{\sqrt{3}}$进行化简：
$x = 2\sqrt{\dfrac{18}{3}}=2\sqrt{6}(cm)$。
【答案】：$2\sqrt{6}cm$