《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

8. 如图14，已知菱形$ABCD$的周长为16，面积为$8\sqrt{3}$，点$E$为$AB$的中点，若点$P$为对角线$BD$上一动点，则$EP + AP$的最小值为______.

答案： $2\sqrt{3}$

1. 如图15，点$O$为矩形$ABCD$对角线的交点，$DE // AC$，$CE // BD$.
(1)试判断四边形$OCED$的形状，并说明理由；
(2)若$AB = 6$，$BC = 8$，求四边形$OCED$的面积.

答案： （1）
解：四边形$OCED$是菱形。
理由：因为$DE// AC$，$CE// BD$，所以四边形$OCED$是平行四边形。
又因为四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以$OC = OD$。
根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$OCED$是菱形。
（2）
解：因为四边形$ABCD$是矩形，$AB = 6$，$BC = 8$，根据矩形面积公式$S = AB\times BC$，可得$S_{矩形ABCD}=6\times8 = 48$。
又因为$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}$（矩形的对角线把矩形分成四个面积相等的三角形），所以$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{4}\times48 = 12$。
因为四边形$OCED$是菱形，且$S_{菱形OCED}=2S_{\triangle OCD}$（菱形的一条对角线把菱形分成两个面积相等的三角形）。
所以$S_{菱形OCED}=2\times12 = 24$。
综上，（1）四边形$OCED$是菱形；（2）四边形$OCED$的面积为$24$。

2. 如图16，在$\square ABCD$中，点$E$，$F$，$G$分别为$AD$，$OB$，$OC$的中点，且$2AB = AC$.请你猜想$EF$与$GF$的大小有什么关系，并证明你的猜想.

答案： 解：EF = GF。
证明：连接AF。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC=2AO，AD=BC
∵2AB=AC
∴AB=AO，即△ABO为等腰三角形
∵F是OB的中点
∴AF⊥OB，即△ADF为直角三角形
∵E是斜边AD的中点
∴EF=$\frac{1}{2}$AD
∵F是OB的中点，G是OC的中点
∴FG是△OBC的中位线
∴FG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD
∴EF=FG