《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

4. 如图14,在□ABCD中,AE平分∠BAD交BC于点E,EF//AB交AD于点F.猜想四边形ABEF的形状,并给出证明.

答案： 【解析】：
- 首先证明四边形$ABEF$是平行四边形：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，又因为$EF// AB$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形$ABEF$是平行四边形。
然后证明$AB = BE$：
因为$AE$平分$\angle BAD$，所以$\angle BAE=\angle FAE$。
由于$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$\angle FAE = \angle AEB$。
所以$\angle BAE=\angle AEB$。
根据“等角对等边”，可得$AB = BE$。
最后得出四边形$ABEF$的形状：
因为四边形$ABEF$是平行四边形，且$AB = BE$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以四边形$ABEF$是菱形。
【答案】：四边形$ABEF$是菱形。

5. 如图15,在△ABC中,点D是边BC上的一点,点E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:BD=CD;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?请说明理由.

答案： 【解析】：
(1) 因为$AF// BC$，所以$\angle AFE = \angle DCE$。
又因为点$E$是$AD$的中点，所以$AE = DE$。
在$\triangle AEF$和$\triangle DEC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle AFE=\angle DCE\\\angle AEF=\angle DEC\\AE = DE\end{array}\right.$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle AEF\cong\triangle DEC$。
所以$AF = CD$，又因为$AF = BD$，所以$BD = CD$。
(2) 当$\triangle ABC$满足$AB = AC$时，四边形$AFBD$是矩形。
理由：因为$AF// BD$，$AF = BD$，所以四边形$AFBD$是平行四边形。
当$AB = AC$时，由
(1)知$BD = CD$，根据等腰三角形三线合一的性质可知$AD\perp BC$，即$\angle ADB = 90^{\circ}$。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AFBD$是矩形。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析。
(2) 当$\triangle ABC$满足$AB = AC$时，四边形$AFBD$是矩形，理由如上述解析。