《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

4. 如图13，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多1m，当他把绳子的下端拉到距离旗杆5m处时，发现下端刚好接触地面。求旗杆的高度。

答案： 【解析】：设旗杆的高度为$x$米，因为旗杆顶端的绳子垂到地面后还多$1$米，则绳子长度为$(x + 1)$米。
此时旗杆，地面与绳子构成一个直角三角形，旗杆与地面垂直为直角边，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$x^{2}+5^{2}=(x + 1)^{2}$。
展开$(x + 1)^{2}$得$x^{2}+2x + 1$，则方程变为$x^{2}+25=x^{2}+2x + 1$。
移项可得$2x=25 - 1$，即$2x=24$，解得$x = 12$。
【答案】：$12$米

1. 已知$ |x-12|+(y-13)^{2} $和$ z^{2}-10z+25 $互为相反数，则以x，y，z为三边的三角形为________三角形。

答案： 【解析】：
因为$\vert x - 12\vert+(y - 13)^{2}$和$z^{2}-10z + 25$互为相反数，所以$\vert x - 12\vert+(y - 13)^{2}+z^{2}-10z + 25 = 0$。
对$z^{2}-10z + 25$进行变形可得$z^{2}-10z + 25=(z - 5)^{2}$，则$\vert x - 12\vert+(y - 13)^{2}+(z - 5)^{2}=0$。
由于绝对值一定是非负的，一个数的平方也是非负的，要使几个非负数的和为$0$，则这几个非负数都为$0$。
所以可得$\begin{cases}x - 12 = 0\\y - 13 = 0\\z - 5 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 12\\y = 13\\z = 5\end{cases}$。
因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169 = 13^{2}$，即$z^{2}+x^{2}=y^{2}$，满足勾股定理，所以以$x$，$y$，$z$为三边的三角形是直角三角形。
【答案】：直角

2. 有长度分别为5，7，9，12，13，15，16，20，24，25的木棒，用它们来摆成直角三角形，可以重复使用，则可摆成( )个不同的直角三角形。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： 【解析】：本题可根据勾股定理的逆定理来判断哪些组合能构成直角三角形。勾股定理的逆定理为：若一个三角形的三条边满足关系式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形，其中$c$为最长边。
- 对于$5$，$12$，$13$，因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169 = 13^{2}$，所以能构成直角三角形。
- 对于$7$，$24$，$25$，因为$7^{2}+24^{2}=49 + 576 = 625 = 25^{2}$，所以能构成直角三角形。
- 对于$9$，$12$，$15$，因为$9^{2}+12^{2}=81 + 144 = 225 = 15^{2}$，所以能构成直角三角形。
- 对于$12$，$16$，$20$，因为$12^{2}+16^{2}=144 + 256 = 400 = 20^{2}$，所以能构成直角三角形。
- 对于$15$，$20$，$25$，因为$15^{2}+20^{2}=225 + 400 = 625 = 25^{2}$，所以能构成直角三角形。
综上，可摆成$5$个不同的直角三角形。
【答案】：D

3. 如图14，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC上的点F处。已知$ AB=8cm $，$ BC=10cm $，求EC的长。

答案： 【解析】：
1. 首先，根据折叠性质和矩形性质：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD = BC = 10cm$，$AB = CD = 8cm$，$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$。
由折叠可知$AF = AD = 10cm$，$EF = DE$。设$EC=x cm$，则$DE=(8 - x)cm$，$EF=(8 - x)cm$。
2. 然后，在$Rt\triangle ABF$中：
根据勾股定理$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}$，已知$AF = 10cm$，$AB = 8cm$，则$BF=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6cm$。
所以$FC=BC - BF$，$BC = 10cm$，$BF = 6cm$，则$FC=10 - 6 = 4cm$。
3. 最后，在$Rt\triangle EFC$中：
根据勾股定理$EF^{2}=EC^{2}+FC^{2}$，因为$EF=(8 - x)cm$，$EC=x cm$，$FC = 4cm$，所以$(8 - x)^{2}=x^{2}+4^{2}$。
展开$(8 - x)^{2}$得$64-16x+x^{2}=x^{2}+16$。
移项：$64 - 16x+x^{2}-x^{2}-16 = 0$，即$-16x=-48$。
解得$x = 3$。
【答案】：$3cm$