《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

“平方法”是解决比较二次根式大小和计算问题的一种好方法.基于该方法，白老师提出问题：比较$2 \sqrt { 3 }$与$3 \sqrt { 2 }$的大小.
(1)数学思考
解答白老师提出的问题.
(2)深入探究
白老师让同学们思考上述问题的解决办法，并从不同的角度提出新的问题.
①“善思小组”提出问题：若$p = 2 \sqrt { 5 } + \sqrt { 6 }$，$q = 2 \sqrt { 3 } + \sqrt { 1 4 }$，请通过计算，判断$p$与$q$的大小；
②“智慧小组”提出问题：已知$1 0 + \sqrt { 3 } = x + y$，其中$x$是整数，且$0 ＜ y ＜ 1$，请直接写出$x - y$的值.

答案： 【解析】：
(1) 要比较$2\sqrt{3}$与$3\sqrt{2}$的大小，可对它们分别平方：
$(2\sqrt{3})^{2}=2^{2}\times(\sqrt{3})^{2}=4\times3 = 12$，
$(3\sqrt{2})^{2}=3^{2}\times(\sqrt{2})^{2}=9\times2 = 18$。
因为$12\lt18$，且当$a\gt0$，$b\gt0$时，若$a^{2}\lt b^{2}$，则$a\lt b$，所以$2\sqrt{3}\lt3\sqrt{2}$。
(2) ① 要比较$p = 2\sqrt{5}+\sqrt{6}$与$q = 2\sqrt{3}+\sqrt{14}$的大小，可对$p$、$q$分别平方：
$p^{2}=(2\sqrt{5}+\sqrt{6})^{2}$
$=(2\sqrt{5})^{2}+2\times2\sqrt{5}\times\sqrt{6}+(\sqrt{6})^{2}$
$=20 + 4\sqrt{30}+6$
$=26 + 4\sqrt{30}$；
$q^{2}=(2\sqrt{3}+\sqrt{14})^{2}$
$=(2\sqrt{3})^{2}+2\times2\sqrt{3}\times\sqrt{14}+(\sqrt{14})^{2}$
$=12 + 4\sqrt{42}+14$
$=26 + 4\sqrt{42}$。
因为$\sqrt{30}\lt\sqrt{42}$，所以$4\sqrt{30}\lt4\sqrt{42}$，那么$p^{2}\lt q^{2}$。
又因为$p\gt0$，$q\gt0$，当$a\gt0$，$b\gt0$时，若$a^{2}\lt b^{2}$，则$a\lt b$，所以$p\lt q$。
② 因为$1\lt3\lt4$，所以$1\lt\sqrt{3}\lt2$，则$10 + 1\lt10+\sqrt{3}\lt10 + 2$，即$11\lt10+\sqrt{3}\lt12$。
已知$10+\sqrt{3}=x + y$，其中$x$是整数，且$0\lt y\lt1$，所以$x = 11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$。
则$x - y=11-(\sqrt{3}-1)=11-\sqrt{3}+1=12-\sqrt{3}$。
【答案】：
(1)$2\sqrt{3}\lt3\sqrt{2}$；
(2)①$p\lt q$；②$12 - \sqrt{3}$