《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

折纸是一项有趣的活动，折纸活动伴随着我们初中数学的学习.我们可以在折纸过程中，研究图形的运动和性质；在思考问题的过程中，初步建立几何直观.现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧.将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，我们称这样的长方形为完美长方形.

(1)操作发现
如图19，将$\triangle ABC$纸片折叠成完美长方形$EFGH$，若$\triangle ABC$的面积为12，$BC = 6$，则此完美长方形的边长$FG = $______，面积为______.
(2)类比探究
如图20，将$\square ABCD$纸片折叠成完美长方形$AEFG$，若$\square ABCD$的面积为20，$BC = 5$，求完美长方形$AEFG$的周长.
(3)拓展延伸
如图21，将$\square ABCD$纸片折叠成完美长方形$EFGH$，若$EF:EH = 3:4$，$AD = 15$，则此完美长方形的周长为______，面积为______.

答案： 【解析】：
### $(1)$ 求完美长方形$EFGH$的边长$FG$和面积
设$\triangle ABC$的高为$h$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{\triangle ABC}=12$，$BC = 6$，则$\frac{1}{2}\times6\times h = 12$，解得$h = 4$。
由折叠性质可知，完美长方形$EFGH$的面积等于$\triangle ABC$面积的一半，所以$S_{EFGH}=12\div2 = 6$。
因为$BC = 6$，$FG=\frac{1}{2}BC$（折叠性质），所以$FG = 3$。
### $(2)$ 求完美长方形$AEFG$的周长
已知$S_{\square ABCD}=20$，$BC = 5$，根据平行四边形面积公式$S = 底×高$，可得$AE=\frac{S_{\square ABCD}}{BC}=\frac{20}{5}=4$。
由折叠性质可知$EF=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。
根据长方形周长公式$C = 2×(长 + 宽)$，可得$C_{AEFG}=2×(AE + EF)=2×(4+\frac{5}{2})=2\times\frac{13}{2}=13$。
### $(3)$ 求完美长方形$EFGH$的周长和面积
设$EF = 3x$，$EH = 4x$，由折叠性质可知$AD = EH+EF$（勾股定理逆定理，$EF$与$EH$为直角边，$AD$为斜边），即$(3x)^{2}+(4x)^{2}=15^{2}$。
化简得$9x^{2}+16x^{2}=225$，$25x^{2}=225$，$x^{2}=9$，解得$x = 3$（$x\gt0$）。
所以$EF = 9$，$EH = 12$。
根据长方形周长公式$C = 2×(长 + 宽)$，可得$C_{EFGH}=2×(9 + 12)=42$。
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得$S_{EFGH}=9×12 = 108$。
【答案】：
$(1)$ $3$，$6$；
$(2)$ $13$；
$(3)$ $42$，$108$。