《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

1. 当$x$分别取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)$\sqrt{1 - 3x}$；
(2)$\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$；
(3)$\sqrt{x^{2}+2}$.

答案： 【解析】：
(1)要使$\sqrt{1 - 3x}$在实数范围内有意义，则被开方数须大于等于$0$，即$1 - 3x\geqslant0$，解不等式$1 - 3x\geqslant0$，移项可得$-3x\geqslant - 1$，两边同时除以$-3$，不等号变向，解得$x\leqslant\frac{1}{3}$。
(2)要使$\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$有意义，分子中的被开方数$x - 1\geqslant0$，同时分母$x - 2\neq0$。
由$x - 1\geqslant0$，解得$x\geqslant1$；由$x - 2\neq0$，解得$x\neq2$。所以$x$的取值范围是$x\geqslant1$且$x\neq2$。
(3)因为对于任意实数$x$，$x^{2}\geqslant0$，所以$x^{2}+2\geqslant2\gt0$，即无论$x$取何实数，$\sqrt{x^{2}+2}$的被开方数总是大于$0$的，所以$x$取任意实数时，$\sqrt{x^{2}+2}$在实数范围内都有意义。
【答案】：
(1)$x\leqslant\frac{1}{3}$；
(2)$x\geqslant1$且$x\neq2$；
(3)任意实数

2. 求下列各式的值.
(1)$-\sqrt{1\frac{11}{25}}$；
(2)$(-2\sqrt{3})^{2}$；
(3)$\sqrt{(-\frac{81}{49})^{2}}$.

答案： 【解析】：
(1) 先将带分数$1\frac{11}{25}$化为假分数$\frac{36}{25}$，再根据算术平方根的定义，$\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}$，所以$-\sqrt{1\frac{11}{25}}=-\frac{6}{5}$。
(2) 根据积的乘方公式$(ab)^n=a^n\times b^n$，$(-2\sqrt{3})^{2}=(-2)^{2}\times(\sqrt{3})^{2}$，$(-2)^{2}=4$，$(\sqrt{3})^{2}=3$，则$(-2)^{2}\times(\sqrt{3})^{2}=4\times3 = 12$。
(3) 先计算$(-\frac{81}{49})^{2}=\frac{81^{2}}{49^{2}}$，再根据算术平方根的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，所以$\sqrt{(-\frac{81}{49})^{2}}=\vert-\frac{81}{49}\vert=\frac{81}{49}$。
【答案】：
(1)$-\frac{6}{5}$；
(2)$12$；
(3)$\frac{81}{49}$