《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

3. 如图11，在平面直角坐标系中，过点$B(6,0)$的直线$AB$与直线$OA$相交于点$A(4,2)$，与$y$轴交于点$C$.
(1)求直线$AB$的解析式；
(2)若点$P(m,3)$在直线$AB$上，求$\triangle OAP$的面积.

答案： 【解析】：
(1)设直线$AB$的解析式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
已知直线$AB$过点$A(4,2)$和$B(6,0)$，将点代入解析式可得方程组$\begin{cases}4k + b = 2\\6k + b = 0\end{cases}$。
用第一个方程减去第二个方程消去$b$：$(4k + b)-(6k + b)=2 - 0$，即$4k + b - 6k - b = 2$，$-2k = 2$，解得$k=-1$。
把$k = - 1$代入$4k + b = 2$，得$4\times(-1)+b = 2$，$-4 + b = 2$，解得$b = 6$。
所以直线$AB$的解析式为$y=-x + 6$。
(2)因为点$P(m,3)$在直线$AB$：$y=-x + 6$上，所以把$y = 3$代入$y=-x + 6$，得$3=-m + 6$，解得$m = 3$，即$P(3,3)$。
直线$AB$与$y$轴交点$C$，令$x = 0$，则$y=-0 + 6=6$，即$C(0,6)$。
$\triangle OAP$的面积$S_{\triangle OAP}=S_{\triangle OCP}-S_{\triangle OCA}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）。
$S_{\triangle OCP}=\frac{1}{2}\times OC\times|x_{P}|=\frac{1}{2}\times6\times3 = 9$，$S_{\triangle OCA}=\frac{1}{2}\times OC\times|x_{A}|=\frac{1}{2}\times6\times4 = 12$。
所以$S_{\triangle OAP}=9-(12 - 6)=3$。
【答案】：
(1) $y=-x + 6$；
(2) $3$。

4. 甲、乙两车分别从$A$，$B$两地同时出发，甲车匀速前往$B$地，到达$B$地后立即以另一速度按原路匀速返回$A$地；乙车匀速前往$A$地.设甲、乙两车距$A$地的距离为$y$(单位：$\mathrm{k}\mathrm{m}$)，甲车行驶的时间为$x$(单位：$\mathrm{h}$)，$y$与$x$之间的函数图象如图12所示.
(1)求甲车从$A$地到达$B$地的行驶时间；
(2)求甲车返回$A$地时$y$与$x$之间的函数关系式，并写出自变量$x$的取值范围；
(3)求乙车到达$A$地时甲车距$A$地的距离.

答案： 【解析】：
### $(1)$求甲车从$A$地到达$B$地的行驶时间
首先求甲车去程速度$v_{甲去}$：
由图象可知，当$x = 1.5h$时，甲车行驶的距离$y = 180km$，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得$v_{甲去}=\frac{180}{1.5}=120(km/h)$。
然后求$A$、$B$两地距离$s = 300km$，再根据时间公式$t=\frac{s}{v}$，可得甲车从$A$地到达$B$地的行驶时间$t=\frac{300}{120}=2.5(h)$。
### $(2)$求甲车返回$A$地时$y$与$x$之间的函数关系式及自变量$x$的取值范围
设甲车返回$A$地时$y$与$x$之间的函数关系式为$y = kx + b$。
甲车到达$B$地的时间$x = 2.5h$，此时$y = 300$；甲车返回$A$地的时间$x = 5.5h$，此时$y = 0$。
将$(2.5,300)$和$(5.5,0)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}2.5k + b = 300\\5.5k + b = 0\end{cases}$。
用$5.5k + b = 0$减去$2.5k + b = 300$：
$(5.5k + b)-(2.5k + b)=0 - 300$，即$3k=-300$，解得$k=-100$。
把$k = - 100$代入$2.5k + b = 300$得：$2.5\times(-100)+b = 300$，$-250 + b = 300$，解得$b = 550$。
所以函数关系式为$y=-100x + 550$，自变量$x$的取值范围是$2.5\leqslant x\leqslant5.5$。
### $(3)$求乙车到达$A$地时甲车距$A$地的距离
先求乙车速度$v_{乙}$：
乙车$1.5h$行驶的距离为$300 - 180 = 120(km)$，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得$v_{乙}=\frac{120}{1.5}=80(km/h)$。
再求乙车从$B$地到$A$地行驶时间$t_{乙}=\frac{300}{80}=3.75(h)$。
把$x = 3.75$代入$y=-100x + 550$得：$y=-100\times3.75 + 550=-375 + 550 = 175(km)$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{2.5h}$；
$(2)$$\boldsymbol{y=-100x + 550(2.5\leqslant x\leqslant5.5)}$；
$(3)$$\boldsymbol{175km}$。