《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

2. 如图14，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF。求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)四边形ABED是平行四边形。

答案： 【解析】：
(1) 因为$BE = CF$，所以$BE + EC = CF + EC$，即$BC = EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE\\\angle B=\angle DEF\\BC = EF\end{cases}$，根据“边角边”（$SAS$）定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
(2) 因为$\angle B=\angle DEF$，所以$AB// DE$（同位角相等，两直线平行）。
又因为$AB = DE$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$ABED$是平行四边形。
【答案】：
(1) $\triangle ABC\cong\triangle DEF$（$SAS$）；
(2) 四边形$ABED$是平行四边形。

3. 如图15，E是□ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F。
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，根据平行线的性质可得$\angle DAE = \angle F$，$\angle D=\angle ECF$。
又因为$E$是$CD$的中点，所以$DE = CE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle FCE$中，$\begin{cases}\angle DAE=\angle F\\\angle D = \angle ECF\\DE = CE\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADE\cong\triangle FCE$。
(2) 由$\triangle ADE\cong\triangle FCE$可知$AE = EF = 3$，所以$AF=AE + EF=3 + 3 = 6$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD = BC = 5$，则$\angle AED=\angle BAF = 90^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
在$Rt\triangle ADE$中，根据勾股定理$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
因为$E$是$CD$中点，所以$CD = 2DE=2\times4 = 8$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析；
(2)$8$。