《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

2. 如图12,在△ABC中,点E,F,D分别是边AB,AC,BC上的点,且DE//AC,DF//AB,要使四边形AEDF是菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是__________.试证明:这个多边形是菱形.

答案： 解：添加条件$AE = AF$（答案不唯一，也可添加$AD$平分$\angle BAC$等）。
证明：
已知$DE// AC$，$DF// AB$，所以四边形$AEDF$是平行四边形
又因为$AE = AF$
根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形
所以平行四边形$AEDF$是菱形。
故答案为：$AE = AF$（答案不唯一）。

3. 如图13,在正方形ABCD中,点G是BC上任意一点,连接AG,过B,D两点分别作BE⊥AG,DF⊥AG,垂足分别为E,F.求证:△ADF≌△BAE.

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$DA = AB$，$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$。
- 又因为$BE\perp AG$，$DF\perp AG$，所以$\angle AFD=\angle BEA = 90^{\circ}$，$\angle4+\angle2 = 90^{\circ}$，则$\angle1=\angle4$。
- 在$\triangle ADF$和$\triangle BAE$中，$\begin{cases}\angle AFD=\angle BEA\\\angle4=\angle1\\DA = AB\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADF\cong\triangle BAE$。
【答案】：
在正方形$ABCD$中，$DA = AB$，$\angle DAB = 90^{\circ}$，所以$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$。
因为$BE\perp AG$，$DF\perp AG$，所以$\angle AFD=\angle BEA = 90^{\circ}$，$\angle4+\angle2 = 90^{\circ}$，所以$\angle1=\angle4$。
在$\triangle ADF$和$\triangle BAE$中，$\begin{cases}\angle AFD=\angle BEA\\\angle4=\angle1\\DA = AB\end{cases}$，所以$\triangle ADF\cong\triangle BAE(AAS)$。