《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

3. 一个三角形的三边长分别为$5\sqrt {\frac {x}{5}},\frac {1}{2}\sqrt {20x},\frac {5}{4}x\sqrt {\frac {4}{5x}}$.
(1)求它的周长(结果化为最简二次根式);
(2)请你给出一个适当的x的值,使它的周长为有理数,并求出此时三角形的周长.

答案： 【解析】：
(1)首先，根据三角形周长的定义，三角形的周长等于三边之和。
已知三角形三边分别为$a = 5\sqrt{\frac{x}{5}}$，$b=\frac{1}{2}\sqrt{20x}$，$c = \frac{5}{4}x\sqrt{\frac{4}{5x}}$。
对三边进行化简：
化简$a = 5\sqrt{\frac{x}{5}}$，根据$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，可得$a = 5\times\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{x}}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{x}\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\sqrt{5x}$。
化简$b=\frac{1}{2}\sqrt{20x}$，$b=\frac{1}{2}\sqrt{4\times5x}=\frac{1}{2}\times2\sqrt{5x}=\sqrt{5x}$。
化简$c=\frac{5}{4}x\sqrt{\frac{4}{5x}}$，$c=\frac{5}{4}x\times\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5x}}=\frac{5}{4}x\times\frac{2}{\sqrt{5x}}=\frac{5x}{2\sqrt{5x}}=\frac{5x\sqrt{5x}}{2\times5x}=\frac{1}{2}\sqrt{5x}$。
然后求周长$C=a + b + c$，将化简后的三边代入可得：
$C=\sqrt{5x}+\sqrt{5x}+\frac{1}{2}\sqrt{5x}=(1 + 1+\frac{1}{2})\sqrt{5x}=\frac{5}{2}\sqrt{5x}$。
(2)要使周长$C=\frac{5}{2}\sqrt{5x}$为有理数，那么$\sqrt{5x}$必须是一个能开得尽方的数。
当$x = 5$时，$\sqrt{5x}=\sqrt{5\times5}=5$。
此时三角形的周长$C=\frac{5}{2}\times5=\frac{25}{2}$。
【答案】：
(1)$\frac{5}{2}\sqrt{5x}$；
(2)当$x = 5$时，周长为$\frac{25}{2}$。