《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

1. 化简求值.
(1)当$a=4+\sqrt {15},b=4-\sqrt {15}$时,求$a^{2}+5ab+b^{2}-3a-3b$的值;
(2)$(a-1+\frac {2}{a+1})÷\frac {a^{2}+1}{2a^{2}+5a+3}$,其中$a=\frac {1}{\sqrt {2}}$.

答案： 【解析】：
(1)
首先，根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$。
先求$a + b$和$ab$的值：
$a + b=(4+\sqrt{15})+(4 - \sqrt{15})=8$；
$ab=(4+\sqrt{15})(4 - \sqrt{15})=4^{2}-(\sqrt{15})^{2}=16 - 15 = 1$。
$a^{2}+5ab+b^{2}-3a - 3b=(a^{2}+2ab+b^{2})+3ab-3(a + b)$
$=(a + b)^{2}+3ab-3(a + b)$
把$a + b = 8$，$ab = 1$代入上式得：
$8^{2}+3\times1-3\times8$
$=64 + 3-24$
$=43$。
(2)
先化简$(a - 1+\frac{2}{a + 1})\div\frac{a^{2}+1}{2a^{2}+5a + 3}$：
对括号内通分：
$a-1+\frac{2}{a + 1}=\frac{(a - 1)(a + 1)+2}{a + 1}=\frac{a^{2}-1 + 2}{a + 1}=\frac{a^{2}+1}{a + 1}$。
对$2a^{2}+5a + 3$因式分解：$2a^{2}+5a + 3=2a^{2}+2a+3a + 3=2a(a + 1)+3(a + 1)=(2a + 3)(a + 1)$。
则原式$=\frac{a^{2}+1}{a + 1}\div\frac{a^{2}+1}{(2a + 3)(a + 1)}$
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，可得：
$\frac{a^{2}+1}{a + 1}\times\frac{(2a + 3)(a + 1)}{a^{2}+1}=2a+3$。
当$a=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，代入$2a + 3$得：
$2\times\frac{\sqrt{2}}{2}+3=\sqrt{2}+3$。
【答案】：
(1) $43$；
(2) $3+\sqrt{2}$

2. 如图4,用一个面积为a的正方形和四个相同的长方形拼成一个面积为8a的正方形图案,求其中一个长方形的周长.

答案： 【解析】：
设长方形的长为$x$，宽为$y$。
已知大正方形面积为$8a$，则大正方形边长为$\sqrt{8a}=2\sqrt{2a}$，小正方形面积为$a$，则小正方形边长为$\sqrt{a}$。
由图可得$x + y=2\sqrt{2a}$，$x - y=\sqrt{a}$。
长方形周长$C = 2(x + y)$。
因为$x + y=2\sqrt{2a}$，所以长方形周长$C = 2\times2\sqrt{2a}=4\sqrt{2a}$。
另一种方法：
大正方形面积为$8a$，小正方形面积为$a$，则四个长方形面积和为$8a - a=7a$，那么一个长方形面积为$\frac{7a}{4}$。
设长方形长为$m$，宽为$n$，$m\times n=\frac{7a}{4}$，且$(m + n)^2=8a$，$m + n=\sqrt{8a}=2\sqrt{2a}$。
长方形周长$C = 2(m + n)$，所以$C = 4\sqrt{2a}$。
【答案】：$4\sqrt{2a}$