《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学人教版》

10. 已知$x=2-\sqrt {3}$,则代数式$(7+4\sqrt {3})x^{2}+(2+\sqrt {3})x+\sqrt {3}$的值是( ).
A. 0
B. $\sqrt {3}$
C. $2+\sqrt {3}$
D. $2-\sqrt {3}$

答案： 【解析】：
本题可先将$x = 2 - \sqrt{3}$代入$x^2$求出$x^2$的值，再将$x$与$x^2$的值代入到$(7 + 4\sqrt{3})x^2 + (2 + \sqrt{3})x + \sqrt{3}$中进行计算。
- **步骤一：计算$x^2$的值**
已知$x = 2 - \sqrt{3}$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
$x^2=(2 - \sqrt{3})^2=2^2-2\times2\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$
- **步骤二：将$x$与$x^2$的值代入原式进行计算**
把$x^2 = 7 - 4\sqrt{3}$，$x = 2 - \sqrt{3}$代入$(7 + 4\sqrt{3})x^2 + (2 + \sqrt{3})x + \sqrt{3}$可得：
$\begin{aligned}&(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3}\\=&7^2-(4\sqrt{3})^2+(2^2-(\sqrt{3})^2) + \sqrt{3}\\=&49 - 48 + (4 - 3) + \sqrt{3}\\=&1 + 1 + \sqrt{3}\\=&2 + \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】：C

1. 计算:$2\sqrt {2}-\sqrt {18}=$____.

答案： $-\sqrt{2}$

2. 若最简根式$-\sqrt {a+5}$与$\sqrt [2a-b]{9-b}$能够进行合并,则$a-b=$____.

答案： $0$

3. 计算:$(2\sqrt {7}+5\sqrt {2})(2\sqrt {7}-5\sqrt {2})=$____.

答案： $-22$

4. 计算:$(3+2\sqrt {5})^{2}=$____;$(3\sqrt {6}-2\sqrt {3})^{2}=$____.

答案： $29 + 12\sqrt{5}$；$66 - 36\sqrt{2}$

5. 若$a=3-\sqrt {10}$,则代数式$a^{2}-6a-2$的值为____.

答案： $-1$

6. $\sqrt {3}+2$的倒数是____;$(2\sqrt {48}-3\sqrt {27})÷\sqrt {6}$的值是____.

答案： $2 - \sqrt{3}$；$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

7. 在实数范围内因式分解:$4x^{2}-3=$____;$2x^{2}+2\sqrt {2}x+1=$____.

答案： $(2x + \sqrt{3})(2x-\sqrt{3})$；$2\left(x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$

8. 已知$x_{1}=\sqrt {3}+\sqrt {2},x_{2}=\sqrt {3}-\sqrt {2}$,则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=$____.

答案： $10$

1. 计算.
(1)$\sqrt {3}-\sqrt {12}$;
(2)$2\sqrt {12}-4\sqrt {\frac {1}{27}}+3\sqrt {48}$;
(3)$(\sqrt {48}-\sqrt {75})×\sqrt {1\frac {1}{3}}$;
(4)$(3\sqrt {2}-2\sqrt {3})(3\sqrt {2}+2\sqrt {3})$.

答案： 【解析】：
(1)
先将$\sqrt{12}$化简，$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，则$\sqrt{3}-\sqrt{12}=\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(1 - 2)\sqrt{3}=-\sqrt{3}$。
(2)
分别化简各项：
$2\sqrt{12}=2\sqrt{4\times3}=2\times2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$；
$4\sqrt{\frac{1}{27}} = 4\times\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}=4\times\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$；
$3\sqrt{48}=3\sqrt{16\times3}=3\times4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$。
所以$2\sqrt{12}-4\sqrt{\frac{1}{27}}+3\sqrt{48}=4\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{9}+12\sqrt{3}=(4-\frac{4}{9}+12)\sqrt{3}=(\frac{36 - 4}{9}+12)\sqrt{3}=(\frac{32}{9}+12)\sqrt{3}=\frac{32 + 108}{9}\sqrt{3}=\frac{140}{9}\sqrt{3}$。
(3)
先化简各项：
$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}$，则$\sqrt{48}-\sqrt{75}=4\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-\sqrt{3}$；
$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
所以$(\sqrt{48}-\sqrt{75})\times\sqrt{1\frac{1}{3}}=(-\sqrt{3})\times\frac{2\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\times3}{3}=-2$。
(4)
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 3\sqrt{2}$，$b = 2\sqrt{3}$，则$(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})=(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}=3^{2}\times(\sqrt{2})^{2}-2^{2}\times(\sqrt{3})^{2}=9\times2-4\times3=18 - 12 = 6$。
【答案】：
(1)$-\sqrt{3}$；
(2)$\frac{140}{9}\sqrt{3}$；
(3)$-2$；
(4)$6$